导数的应用之一：函数问题
（3课时）
导数与微分是在极限的基础上发展起来的研究变量的一个数学分支，是解决实际问题的重要的数学工具。如求曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的最值以及不等式的证明等问题，均可以导数作为研究的工具，根据导数的意义进行求解和证明。关于导数的应用，我们将分两个讲座研究，分别是函数问题和切线与速度的问题。
一、利用导数研究函数的单调性
若函数 在某个区间内可导，则当 时， 在此区间上为单调增函数；而当 时， 在此区间上为单调减函数。利用上述性质，可以研究函数的单调性。
注意点：
（1）同一函数的两个单调区间不能并起来
（2）求函数的单调区间，求导的方法不是唯一的方法，也不一定是最好的方法，但它是一种一般性的方法。
二、利用导数求函数的最值
求闭区间 上的可导函数的最大（小）值的方法是：首先求出此函数在开区间 内的驻点，然后计算函数在驻点与端点处的值，并将它们进行比较，其中最大的一个即为最大值，最小的一个即为最小值，这里无须对各驻点讨论其是否为极大（小）值点。
如果函数不在闭区间 上可导，那么求函数的最大（小）值时，不仅要比较此函数在各驻点与端点处的值，还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值。
一般地，求在闭区间 上连续，在开区间 内可导的函数 在闭区间 上最值的步骤为：
⑴求 在区间 内的根，即导数为0的点（不必确定它是极大值点还是极小值点），求出这些导数为0的点的函数值；
⑵求 在闭区间 两端点处的函数值，即 与 ；
⑶将导数为0的函数值与两端点处的函数值进行比较，其中最大的一个即为最大值，最小的一个即为最小值。
一、范例分析
例1．设函数 内为奇函数且可导，证明：
内的偶函数.
证明：对任意
由于 为奇函数， ，
于是 ，
因此 即 内的偶函数。
例2．已知函数 处取得极值，并且它
的图象与直线 在点（1，0）处相切，求a、b、c的值.
解：由曲线 过（1，0）得 ① 又 +b
则 ②
③
解①②③得 .
例3．已知 有极大值 和极小值 .
（1）求 + 的值；
（2）设曲线 的极值点为A、B，求证：线段AB的中点在 上.
解：（1） ，由于 有极大值和极小值， 、 的两根，
则
（2）设
知AB的中点在
上。
例4．设函数 的驻点是0和4.
（1）求常数k的值；
（2）确定函数 的单调区间；
（3）求 的极值。
解：（1） ，由于驻点是0和4，∴0和4是方程 的两根，
可求得
（2）由（1）可知 ，∴当 为增函
数， 为减函数； （3）由（2）可判断极大值为 极小值为
例5．求证： 。
证明：（1）当 时， =1， =1，命题成立；
（2）当 >0时，令 ，则 >0
在（0， ）上为增函数
>0， > 即 >0
> ；
（3）当 <0时，令 ，则 <0
在（ ）上为减函数
<0， > 即 >0
>
综合以上情况， 。
例6．已知函数 问是否存在实数a、b使f(x)在[－1，2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a、b的值.并指出函数的单调区间 . 若不存在，请说明理由 .
解： （舍）
（1）a>0时，如下表
x (－1,0) 0 （0，2）
+ 0 —
最大值3
∴当x=0时， 取得最大值， ∴b=3；
（2）a<0时，如下表
x (－1,0) 0 （0，2）
— 0 +
最小值－29
∴当x=0时， 取得最小值， ∴b=－29（9分） 又f(2)=－16a－29, f(－1)=－7a－29<f(2)
∴当x=2时, 取得最大值，∴－16a－29=3， a=－2，
综上：a=2, b=3 或a=－2, b=－29。
例7．(2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷、辽宁卷理19）)
设 ，求函数 的单调区间.
分析：本例主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力。
解： .
当 时 .
（i）当 时，对所有 ，有 .
即 ，此时 在 内单调递增.
（ii）当 时，对 ，有 ，
即 ，此时 在（0，1）内单调递增，又知函数 在x=1处连续，因此，
函数 在（0，+ ）内单调递增
（iii）当 时，令 ，即 .
解得 .
因此，函数 在区间 内单调递增，在区间
内也单调递增.
令 ，
解得 .
因此，函数 在区间 内单调递减.
例8．⑴ 设 ≤1，求一个正常数a，使得x≤ .
⑵ 设 ≤1， ，求证： ≤ .
解：⑴ x≤ 可化为 ≥0，令 = ，
，由 得，
=3a-2≥0， =-3a+4≥0，∴ ≤ ≤ ， ①
∴ ∈[-1，1]， ≥0，即 ≥ ②
由①、②得， .
从而当 ≤1时， = ≥0，即x≤ .
⑵ 由⑴知，对 ≤1，有 ≤ ，（i=1，2，…，n）
将这n个式子求和，得 ≤ .
例9．从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边为x的正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方形铁盒，要求长方体的高度与底面边的比值不超过常数t（t>0）。试问当x取何值时，容量V有最大值。
解： =
函数V（ ）= 的定义域为
令 =0 得
(1)当 ，即 时， 时， ＞0 ．V（ ）为增函数；
时， ＜0 ．V（ ）为减函数； V（ ）在 上有极大值V（ ），
为唯一驻点， 当 时， 有最大值 。
（2）当 ，即 时， 时， ＞0 恒成立； V（ ）为增函数； 当 时， 有最大值 。
例10．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为K(K>0)，贷款的利率为4.8％，又银行吸收的存款能全部放贷出去.(1)若存款的利率为x,x (0，0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)；(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益?
解：（1）由题意，存款量g(x)=Kx2,银行应支付的利息
h(x)=x•g(x)= Kx3
（2）设银行可获收益为y,则
y=0.048•Kx2–Kx3
y’=K•0.096x–3 Kx2 令y’ =0 即K×0.096x–3 Kx2=0
解得x=0 或x=0.032
又当x (0,0.032)时，y’>0, x (0.032,0.048)时, y’<0
y在(0,0.032)内单调递增，在(0.032,0.048) 单调递减
故当x=0.032时，y在(0,0.048)内取得极大值，亦即最大值
答：存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益
二、专题训练
1．下列函数中，在x=0处的导数不等于零的是 （ A ）
A． B．
C．y=ln（1－x2） D．
2.关于函数 ，下列说法正确的是（ B ）
（A） 当 -2时， 有极大值1 （B） 当 0时， 有极小值-63
（C） 当 2时， 有极大值1 （D） 函数的最大值为1
3.设y=8x2-lnx，则此函数在区间(0,1/4)和(1/2,1)内分别为（ ）C
A．单调递增，单调递减 B、单调递增，单调递增
C、单调递减，单调递增 D、单调递减，单调递减
4．函数 的极大值点是 （ D ）
A．x=2 B．x=1 C．x=－1 D．x=－2
5．函数 在 （ D ）
A．（－∞，+∞）内是增函数
B．（－∞，+∞）内是减函数
C．（－1，1）内是增函数，在其余区间内是减函数
D．（－1，1）内是减函数，在其余区间内是增函数
6．已知 ，且f′(x)展成关于x的多项式，其中 的系数为60，则n=（B）
A．7 B．6 C．5 D．4
7．已知函数 在（－∞，+∞）上是增函数，则m的取值范围是 （ C ）
A．m＜－4或m＞－2 B．－4＜m＜－2
C．2＜m＜4 D．m＜2或m＞4
8．已知函数 有极大值和极小值，则a的取值范围是（ C ）
A． B． C． D．
9．函数 的值域为 （ B ）
A．[－4，4] B．[－3，3] C． D．（－3，3）
10．若函数 当 、x=-1时有极值，则（A）
A．a=-18，b=-3 B．a=-18，b=3
C．a=18，b=-3 D．a=18，b=3
11．若不等式 对任何x∈ R都成立，则实数k的最小值为（D）
A．-4 B． C．2 D．3
12．已知函数 在（－∞，+∞）上是增函数，则m的取值范围是 （ C ）
A．m＜－4或m＞－2 B．－4＜m＜－2
C．2＜m＜4 D．m＜2或m＞4
13．函数y=x+2cosx在区间[0， ]上的最大值是 （ ）
14．设函数 的递减区间为 ，则a的取值范围是 （ ）
15．函数 上的最小值是 . （ ）
16．已知函数 在R上可导，则a= ，b= .
（a=2，b=2）
17. 已知函数f(x)=x2(x－1)，若 =x0，求x0的值.
解：f(x)=x3－x2， =3x2－2x， 令3x －2x0=x0知x0=0或1.
18．已知f(x)是R上的可导函数.
（1）f(－x)在x=a处的导数值与f(x)在x=－a处的导数值有什么关系？
（2）若f(x)为偶函数， 的奇偶性如何？
解：（1）互为相反数.
（2）f(－x)在x=－a处的导数值为：
= =－ =－ .
是奇函数,这是因为f(x)为偶函数,故可进而写为：
=－ =－ .
19．设x=-2与x=4是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点。
（1） 求常数a、b的值;
（2） 判断函数在x=-2，x=4处的值是函数的极大值还是极小值，并说明理由。
答案：a=13 b=-24 f(-2)为极大值 f(4)极小值。
20．（本大题满分12分）
做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积价格为b元，问锅炉的直每径与高的比为多少时，造价最低？
答案：b/a。
21．设函数f(x)= (a∈R)，为使f(x)在区间（0，+∞）上为增函数，求a的取值范围。
答案：a≤-1/2。
22．已知椭圆 + =1，(a>b>0)的长轴为AB，以AB为底边作椭圆的内接等腰梯形ABCD，求此等腰梯形面积的最大值。
答案： 。
23．用总长44.8m的钢条制做一个底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架，如果所制做容器的底面的腰长比底边长的一半长1m，那么底面的底边，腰及容器的高为多少时容器的容积最大？（参考数据2.662=7.0756，3.342=11.1556）
解：设容器底面等腰三角形的底边长为2xm，则腰长为 （1分）高为
（2分）设容器的容积为Vm3，底面等腰三角形底边
上的高
令
当 有最大值.
这时容器的底面等腰三角形的底边长为6m，腰长为4m，容器的高为5.6m。
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