求极限什么时候用麦克劳林公式

Question

哪位高人能举个用迈克劳林公式解题的例子

Answer 1

呃～～～ 我不是告诉过你了吗........

我举一个我以前问过的题目

例子： （sinx/x）^(1/x^2) (x->0)
最佳答案
对sinx作泰勒级数展开，再利用基本极限公式。
sinx=x-x^3/3!+O(x^3)
1/x^2ln（sinx/x）
=1/x^2ln((x-x^3/3!+O(x^3))/x)
=1/x^2ln(1-x^2/3!+O(x^2))（对ln(1+x)继续使用级数展开）
=1/x^2(-xx/6+O(xx))
=-1/6+O(1).
所以lim（sinx/x）^(1/x^2) ＝e^(-1/6)
好多时候用洛必达法则时会出现没完没了的情况，这时候用级数展开结合无穷小的概念往往收到较好的效果。
回答者：xumeng320925 - 经理 五级

这个展开就是所谓麦克劳林公式

参考资料：不懂发信息呀～～～～～～

Answer 2

原式=lim
x*(
3次根下(1+3/x)
-
4次根下(1-2/x)
)
=lim
x*(
(
1+(1/3)*(3/x)+...)
-
(
1+(1/4)*(-2/x)+...
)
)
=lim
x*(
(3/2)*1/x
+...
)
=3/2
其中...是一些(1/x)^2的项,具体形式我就不写了,其极限是0,影响不大
麦克劳林是指在0点的泰勒
只要一个函数有高阶导数就可以展开,有多高阶的,就可以展到多高
可以对抽象函数,对复合后的,只要有高阶导数就可以展,这是泰勒展式
只要一个函数在0点有高阶导数,就可以麦克劳林展开
上面这个题是利用了
(1+x)^a在0点的麦

Answer 3

求极限limi(x->0)(cosx-e^(-x^2/2))/x^4

用迈克劳林公式解题

cosx=1-x^2/2+x^4/24+o(x^5).
e^(-x^2/2)=1-x^2/2+x^4/8+o(x^5)
cosx-e^(-x^2/2)=-x^4/12+o(x^5)

所以有：
原式
＝lim(x->0)(-x^4/12+o(x^5))/x^4=-1/12