数学题目是数学教学中生动具体，形象有趣、最具活力的内容，学生要形成数学概念，理解数学命题，要掌握数学方法和技能，要发展智力，提高能力，锤炼意志和品质等，都必须通过"解决问题"这一活动来实现，而对学生的知识和发展水平进行评价时，常常采用测验，考试的方法，也就是把"解题"作为一种重要的检测手段。所以，要提高数学学习水平，就必须充分重视解题活动，切实发挥数学题目的训练价值和功效。一、对探索性数学问题的认识一个数学题目的构成含有四个要素，即题目的条件、解题的依据、解题的方法、题目的结论。这四个要素中，至少应有一个要素是解题者已经知道的，其余要素可能不知道，要通过解题活动加以明确。若题目所含的四个要素都是解题者已经知道的，或者结论虽未指明，但它是完全确定的，那么"解题"就是利用题目给出的条件，运用已有的数学知识和方法，推出题目的结论。这样的数学题目是常见的，是一种封闭性的数学问题。一般来说，探索性数学问题具有以下一些特征：非完全性--指数学探索性问题的组成要素是不完备的，要么条件不充分，要么结论不完全，要么解题方法和解题依据不明确。不确定性--指探索性数学问题或者条件不确定；或者结论不确定，或者解题方法，解题依据不唯一；或者只给出了一种情景，其条件、解题策略需要解题者在情景中去设定，进面寻求结论。探究性--指解答探索性数学问题没有传统的、现成的模式可效仿、必须经过主动探索，认真思考研究，设计解题方案。灵活性--指探索性数学问题的解答方式、解题方法以及答案是灵活多样的。新颖性与创新性--指探索性数学问题内容、形式的新颖性，对学生素质与能力考查的创新性。二、对探索性数学问题解题思路的探讨一般来说，探索性数学问题是相对封闭性数学问题而言，它的形式多种多样，难于全面地、完整地概括，这里本人只提出探索性问题的几种基本类型，分别加以说明。（一）给出了结论，但没有给出或没有全部给出应具备的条件。解此类题的基本策略是执果索因，寻找结论成立的条件。例1 ：设a、b是实数，要使分式 的值等于零，a、b应满足怎样的条件？分析：最直观的想法是，要使 =0，只要a=2b即可，而仅有这一个条件显然是片面的，因为分式为零，应要求分子为零，且分母不为零，所以本题对a、b的限制条件是： 且 。分析到此，条件虽然找到，但" 且 "是不是最本质、最简练的表达，还不一定，解决一个数学问题，应该追求其形式尽量简洁，刻画尽量深刻。解：要使 =0，必须a-2b=0且a≠ - b。而当a=2b时，a≠ - b即2b≠ -b，3b≠0，因此b≠0。由此，要使 的值为0，a、b应满足的条件是a=2b且b≠0。说明：其实" 且 "与"a=2b且b≠0"的本质完全一致，但后者的刻画简单明了。数学作为一种科学的语言，它能够也应该追求深入、科学、简明地刻画各种关系。同时提示我们，学习数学时也要学习数学的思想、方法，而不只是学习一些数学事实、掌握一些数学运算或推理技巧而已。（二）结论的开放与探索型问题这类问题的主要特征是有条件而无结论，自然地，解题的首要任务是探索结论，基本策略是通过对符合已知条件的特例（如特殊的数值、特殊的图象、特殊的图形位置等）或问题的简单情形的分析研究，考查其规律，猜想其结论然后进行证明。解决这类问题的方法是根据条件，结合已学过知识、数学思想方法，通过分析、归纳逐步得出结论；或通过观察、实验、猜想、论证的方法求解。例2，如图，已知Rt△AOB的顶点是一次函数 与反比例函数 的图象在第一象限内的交点，且S△AOB=3。（1）一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由：（2）如果线段AC的延长线与反比例函数图象的另一分支交于D点，过D作DE⊥ 轴于E，那么△ODE的面积与△AOB的面积的大小关系能否确定？（3）请判断△AOD为何特殊三角形，并证明你的结论。分析：△AOB是直角三角形，所以它的面积是两条直角边长度之积的 ，而反比例函数图象上任一点的横坐标、纵坐标之积就是反比例函数中的系数，由题意不难确定m，则所求一次函数、反比例函数的解析式就确定了。由反比例函数的定义可知，过反比例函数图象上任一点作 、y轴的垂线，该点与两垂足及原点构成的矩形的面积都是大小相等的。特殊三角形主要指边的关系和角的关系有特殊性，通过直观图形的观察，借助代数运算验证，便不难判断。解：（1）设 ，则 ，其中 ＞0，m＞0。 在Rt△AOB中 ， ，则 ，解得m=6，所以一次函数解析式为 ，反比例函数解析式为 。（2）由 解得 ，所以有 。由反比例函数的定义可知，对反比例函数图象上任何一点P（ ），有 ，可得 ，所以 ，所以S△DEO=S△AOB。（3）由 可得 ，所以AO=DO。又点A在第一象限，点D在第三象限，所以∠AOD＞90°，所以△AOD为钝角等腰三角形。说明：正确熟练地运用函数的定义、图象，利用各函数的特征解决问题是解决本类问题的关键。（三）方法探索性问题这类问题的主要特征是既有开放性，又具有探索性，是典型的综合题。例3、已知抛物线 （常数m＞0）顶点为P，设此抛物线与 轴的两个交点从左至右依次为A、B，先给出∠APB的度数，并求△APB的周长。分析与解：要求△APB的周长，关键是选取∠APB合理的度数确定m的值。如取∠APB=120°，根据已知可作出右图，图中直线PC是抛物线 （常数m＞0）的对称轴，点A、B、P的坐标分别为（-m+2,0）、（m+2，0）和（2，m2）。因此，PC= m2， 。所以 ，从而， 。因而， ， ， （也可以用勾股定理求AP和BP），所以，△APB的周长为 ，对于取∠APB=90°或∠APB=60°的情形，同理可得。说明：本题无论∠APB取多少度，只要能求出∠APB的周长即可视为完全满足本题解答要求。（四）探索存在型问题探索存在型问题是指在一定的前提下，需要探索发现某种数学关系是否存在的题型，解决此类问题的基本思路是，可先假设结论存在或成立，以此为前提进行运算或推理，若推出矛盾可否定假设，否则给出肯定的证明。例4：已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E。（1）如右图，求证：EB=EC=ED；（2）试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2=4DF·DC？若存在，作出点F，并予以证明，若不存在，请说明理由。分析：（1）要证三条线段相等，一般可两条两条证，如先证明DE=BE，再证明DE=CE，或BE=CE，要证这些线段相等，方法有很多，如证明DE=BE，可利用全等三角形的性质，也可利用切线长定理。证明CE=DE，可利用等腰三角形的判定，证明BE=CE，可利用平行线分线段成比例定理，如果知道直径所对的圆周角是直角，那么还有其他一些方法。（2）要探究在线段DC上是否存在点F，满足BC2=4DF·DC？只需找出一个满足要求的点F即可，但由于在作角的过程中，牵涉到点F是否在线段DC上，这要根据∠CED的大小而定，因此要分类讨论。（1）证明：连结DO。因为BC⊥OB，所以CB是⊙O的切线，B是切点。因为DE是⊙O的切线，D是切点。所以BE=DE，∠ DEO=∠BEO，可得∠DOE=∠BOE。因为OA=OD，所以∠A=∠ODA。因为∠DOE+∠BOE=∠A+∠ODA，所以∠DOE=∠ODA，OE∥AC因为AO=BO，所以CE=BE，EB=EC=ED。（2）解：在△DEC中，因为DE=CE，所以∠C=∠EDC，∠DEC=180°- 2∠C。①当∠DEC＞∠C，即0°＜∠C＜60°时，在线段CD上存在符合要求的点F。在∠DEC内，以ED为一边，作∠DEF=∠C，交CD于点F，则点F即为所求的点。证明：在△DEC和△DEF中，因为∠CDE=∠EDF， ∠DEF=∠C，所以△DEC∽△DEF， ，DE2=DF·CD。而 ，所以BC2=4DF·CD。②当∠DEC=∠C，即∠C=60°时，△DEC为等边三角形，即∠DEC=∠C=60°。此时点C即满足条件的点F。③当∠DEC＜∠C，即60°＜∠C＜90°时，所作的角∠DEF＞∠DEC，此时点F在DC的延长线上，所以线段CD上不存在满足要求的点F。综上所述，当∠C≤60°时，存在点F，满足BC2=4DF·DC。当60°＜∠C＜90°时，不存在满足要求的点F。说明：（1）在已知切线的条件下，一般可连结圆心与切点，得到垂直于切线的半径。（2）由于题目中要求在线段CD上寻找满足要求BC2=4DF·DC的点F，因此要分类讨论，分类讨论是重要的数学思想，也是学生学习的难点，因此要引起重视。由探索性数学问题的特征可以看出，它不具有定向的解题思路，解题时总要有合情合理、实事求是的分析，要把归纳与演绎协调配合起来，把直觉发现与逻辑推理（包括运算这种至精至简的推理）相互结合起来，把一般能力和数学能力同时发挥出来。因此，通过探索性数学问题的解题活动，不仅可以促进数学知识和数学方法的巩固和掌握，而且更加有利于各方面能力的整体发展和思维品质的全面提高，有利于加强主体精神、探究态度、科学方法和创造才能的培养，这正是当前的数学教学中积极引进探索性数学问题的意义所在。而在测验、考试中引进这类问题，则具有更加全面的检测效果，也有正确导向的作用。探索是数学发现的先导，培养创新精神和创造能力是素质教育的重点。所以，重视探索性数学问题的研究和解题实践，是数学发展的需要，是创造型人才成长的需要。基于这一认识，把探索性数学问题纳入数学训练体系中，是非常必要的。
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