已知函数f(x)=x^2+ax+b(a,b属于R),g(x)=2x^2-4x-16,且|f(x)|

Question

已知函数f(x)=x^2+ax+b(a,b属于R),g(x)=2x^2-4x-16,且|f(x)|小于等于|g(x)|,对x属于R恒成立。(1)求a,b的值;(2)若对x>2,不等式f(x)大于等于(m+2)x-m-15恒成立,求实数m的取值范围;(3)记h(x)=-1/2f(x)-4,那么当k大于等于1/2时,是否存在区间[m,n](m<n),使得函数h(x)在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn]?若存在,求出区间[m,n];若不存在,请说明理由.

Answer 1

由g(x)=0得x=4或-2.
由|f(x)|<=|g(x)|,得|f(4)|=|f(-2)|=0,
∴4，-2是f(x)=0的两根，
∴4-2=-a,4*(-2)=b,
∴a=-2,b=-8.
(2)f(x)=x^2-2x-8,
f(x)>=(m+2)x-m-15对x>2恒成立,
<==>x^2-4x+7>=m(x-1)对x>2恒成立,
<==>m<=(x^2-4x+7)/(x-1),
设u=x-1,x>2,则u>1,x=u+1,
(x^2-4x+7)/(x-1)=(u^2+2u+1-4u-4+7)/u=u+4/u-2>=4-2=2,当u=2时取等号，
∴m<=2,为所求.
(3)h(x)=（-1/2）f(x)-4=（-1/2）x^2+x=(-1/2)(x-1)^2+1/2,
当k>=1/2时,存在区间[m,n](m<n),使得函数h(x)在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn],分3种情况：
1）1<m,km=n-n^2/2,kn=m-m^2/2,
后两式相减得k(m-n)=(m-n)[(m+n)/2-1],
k=(m+n)/2-1>=1/2,m+n>=3,
消去k,得m(m-m^2/2)=n(n-n^2/2),
(m-n)(m+n)=(1/2)(m-n)(m^2+mn^n^2),
2(m+n)=m^2+mn+n^2>=(3/4)(m+n)^2,
m+n<=8/3,矛盾。
2）n<1,km=m-m^2/2,kn=n-n^2/2,
∴k=1-m/2=1-n/2,
m=n,矛盾.
3）1∈[m,n],kn=1/2,
由k>=1/2,n>1得kn>1/2,矛盾.
综上，不存在满足题设的区间[m,n].