如何证明均值不等式

Question

如题所述

Answer 1

【均值不等式的简介】
概念：
1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)
3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号
均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时);
(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)）
则有：当r<s时，D(r)≤D(s)
注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)
●【均值不等式的变形】
(1)对正实数a,b，有a�0�5+b�0�5≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a�0�5+b�0�5>0>-2ab
(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a×b)≥0，即(a+b)/2≥√(a×b)≥0
(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a×b)
(4)对实数a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b)
(5)对非负数a,b，有a�0�5+b�0�5≥2ab≥0
(6)对非负数a,b，有a�0�5+b�0�5 ≥�0�5×(a+b)�0�5≥ab
(7)对非负数a,b,c，有a�0�5+b�0�5+c�0�5≥1/3*(a+b+c)�0�5
(8)对非负数a,b,c，有a�0�5+b�0�5+c�0�5≥ab+bc+ac
(9)对非负数a,b，有a�0�5+ab+b�0�5≥�0�6×a+b)�0�5
2/（1/a+1/b）≤√ab≤a+b/2≤√（(a�0�5+b�0�5)/2）
●【均值不等式的证明】
方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等
下面介绍个好理解的方法
琴生不等式法
琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，
则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]
设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数
所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=lnn次√(x1*x2*...*xn)
即(x1+x2+...+xn)/n≥n次√(x1*x2*...*xn)
●【均值不等式的应用】
例一 证明不等式：2√x≥3-1/x (x>0)
证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*3次√(√x)*(√x)*(1/x)=3
所以，2√x≥3-1/x
例二 长方形的面积为p，求周长的最小值
解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p
因为a+b≥2√ab，所以2(a+b)≥4√ab=4√p
周长最小值为4√p
例三 长方形的周长为p，求面积的最大值
解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p
因为a+b=p/2≥2√ab，所以ab≤p^2/16
面积最大值是p^2/16望采纳。谢谢

Answer 2

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
　　引理：设A≥0，B≥0，则(A+B)^n≥A^n+nA^(n－1)B。
　　注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。
　　原题等价于：((a1+a2+…+an )/n)^n≥a1a2…an。
　　当n=2时易证；
　　假设当n=k时命题成立，即
　　((a1+a2+…+ak )/k)^k≥a1a2…ak。那么当n=k+1时，不妨设a(k+1)是a1，a2 ，…，a(k+1)中最大者，则
　　k a(k+1)≥a1+a2+…+ak。
　　设s=a1+a2+…+ak，
　　{[a1+a2+…+a(k+1)]/(k+1)}^(k+1)
　　={s/k+[k a(k+1)－s]/[k(k+1)]}^(k+1)
　　≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k[k a(k+1)－s]/k(k+1) 用引理
　　=(s/k)^k* a(k+1)
　　≥a1a2…a(k+1)。用归纳假设
数学归纳法简单易懂，不懂再问～