高中数学竞赛题 数论

Question

1/2008 的循环节 是多少？？（2008年安徽预赛）大概要利用欧拉函数的性质，可是它的答案很简略我看不太懂

Answer 1

解：首先，费马小定理a与p互素，则a^(p-1)≡1(mod p)
对于一个素数p，取a=10，那么10^(p-1)≡1(mod p)
如果找到一个正整数e使得10^e/p-1/p为整数，那么e就是1/p的循环节（但不一定是最小的那个），由费马小定理知，在不大于p-1的正整数中，e是存在的！
这还意味着，1/p的第一个循环节正好就在小数点后面，是个纯循环小数。
p-1是个和数所以10^(p-1)-1可以进行因式分解分解成为(10^p1-1)(10^(p-1-p1)+.....+1)具体就不写了，其中p1为p-1的因数，如果有一个比p-1小的e满足“10^e/p-1/p为整数”那么这个e一定是p的约数。
（重要）Δ引理：一个循环小数除以2，其循环节大小不变
证明：
1.每个循环节如果是偶数，显然不变
2.如果是奇数，可以将本循环节最后的那个奇数码拿出一个1给后一个循环节，这样新循环节就又是偶数了，不过这个循环节是有重合的，比如0.45454545...就变成0.44+0.0144+0.00144...前面虽然多了些不是循环节的部分，不过循环节部分为数不受影响。
2008=2*2*2*251，251是素数，这样，我们只要求得1/251的循环节长度就好（除以2三次就是1/2008）
根据最上面的那部分10^250≡1(mod 251)，如果有更小的e满足10^e≡1(mod 251)，那么e是250的约数，250的约数有2，5，10，25，50，250
还有，同余式可以乘的，就是如果a≡c(mod m),b≡d(mod m) 则ab≡cd(mod m)
10^3≡-4(mod 251) 所以
10^5≡-400≡102(mod 251) 10^5不满足要求
10^10≡10404≡113(mod 251) 10^10不满足要求
10^20≡12769≡-32(mod 251) 10^20不满足要求
10^25≡-3264≡-1(mod 251) 10^25不满足要求
10^50≡1(mod 251) 10^50满足要求
所以循环节的长度就是50
标准答案：解：2008=2^3×251
φ(251)=250
250的正因数有1、2，5、10、25、50、125、250，x取上述正因数并且满足10^x≡1 (mod 251)的最小的x是50，所以1/2008的循环节长度是50。 没有分，也勉为其难了，希望你能看懂。