如何证明两个偶函数的乘积是偶函数

Question

如题所述

Answer 1

设f(x)，g(x)为偶函数,则f(x)=f(-x),g(x)=g(-x)；

设函数H(X)=f(x)g(x)；

H(-x)=g(-x)f(-x)=g(x)f(x)=H(x)；

所以H(x)为偶函数；

即两个偶函数的乘积为偶函数。

偶函数的性质：

1、如果知道函数表达式，对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都满足f(x)=f(-x)，如y=x*x；y=cosx。

2、如果知道图像，偶函数图像关于y轴（直线x=0）对称。

3、偶函数的定义域D关于原点对称是这个函数成为偶函数的必要非充分条件。

Answer 2

设F(x)=f(x)∙g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数，则F(-x)=f(-x)∙g(-x)=f(x)∙g(x)=F(x)，所以F(x)为偶函数，即两个偶函数的积是偶函数。

如果f(x)和g(x)都是奇函数，则F(-x)=f(-x)∙g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)∙g(x)=F(x)，所以F(x)为偶函数，即两个奇函数的积是偶函数。

如果f(x)是偶函数，而g(x)是奇函数，则F(-x)=f(-x)∙g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)∙g(x)=-F(x)，所以F(x)为奇函数，即偶函数与奇函数的积是奇函数。 

扩展资料：

偶函数计算注意事项：

1、两个偶函数相加所得的和为偶函数。

2、两个奇函数相加所得的和为奇函数。

3、一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数。

4、两个偶函数相乘所得的积为偶函数。

5、两个奇函数相乘所得的积为偶函数。

6、一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数。

7、奇函数一定满足f(0)=0(因为F(0)这个表达式表示0在定义域范围内，F(0)就必须为0)所以不一定奇函数有f(0)，但有F(0)时F(0)必须等于0，不一定有f(0)=0，推出奇函数，此时函数不一定为奇函数，例f(x)=x^2。

参考资料来源：百度百科-偶函数

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Answer 3

证明过程如下：

设f(x)，g(x)均为奇函数，则f(-x)=-f(x)，baig(-x)=-g(x)

f(-x)g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)g(x)

因此f(x)g(x)为偶函数

设f(x)，g(x)均为偶函数，则f(-x)=f(x)，g(-x)=g(x)

f(-x)g(-x)=f(x)g(x)

因此f(x)g(x)为偶函数

扩展资料：

根据奇偶函数的定义，先判断定义域是否关于原点对称，若不对称，即为非奇非偶，若对称，f(-x)=-f(x)的是奇函数； f(-x)=f(x)的是偶函数。

奇函数一定满足f(0)=0（因为F（0）这个表达式表示0在定义域范围内，F(0)就必须为0）所以不一定奇函数有f(0)，但有F（0）时F（0）必须等于0，不一定有f(0)=0，推出奇函数，此时函数不一定为奇函数，例f(x)=x^2。

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Answer 4

设H(x)=f(x)*g(x)，其中f(x)，g(x)是任意偶函数所以f(-x)=f(x)，g(-x)=g(x)，
所以H(-x)=f(-x)*g(-x)=f(x)*g(x)=H(x)
所以H(x)也是偶函数

Answer 5

h(x)=f(x)g(x)，f(x)和g(x)都是偶函数
那么f(-x)=f(x)，g(-x)=g(x)
则h(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=h(x)
所以h(x)是偶函数本回答被网友采纳