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闭区间上连续函数必有界吗
在数学中,“
函数
在一个
区间上有界
”,有界是什么意思?请举例
答:
若存在数M(L),使得对每一个x∈D有: ƒ(x)≤M(ƒ(x)≥L)则称ƒ在D上有上(下)界的函数,M(L)称为ƒ在D上的一个上(下)界。例子:正弦函数sin x 和余弦函数cos x为R上的
有界函数
,因为对于每个x∈R都有|sin x|≤1和|cos x|≤1。
若f(x)在 [a,b]上无界,则f(x)在[a,b]上不
连续
。这句话怎么理解?
答:
连续就是不间断,高等数学中关于闭区间上的
连续函数
的性质如下:定理:在
闭区间上连续
的函数在该区间上
有界
且
一定
能取得它的最大值和最小值。如果不满足上述定理,说明函数在闭区间内有间断点,在本题中为无穷数,则为不连续。闭区间上无界即有断点或无穷点。
闭区间上
的
连续函数必
有最大值
答:
所以找不到一个确定的最大值和最小值。
有界性
与最大值最小值定理:
闭区间上
的
连续函数
在该区间上有界且一定有最大值和最小值。如果函数在开
区间内连续
,或函数在闭区间上有间断点,那么函数在该区间上不
一定有界
,也不一定有最大值和最小值。零点定理和介值定理 如果 x_0 使 f(x_0)=0 ,...
函数
的上界和下界绝对值相等吗?
答:
函数的上界和下界的绝对值不一定相等。函数在某
区间上
不是有界就是无界,二者必属其一;要证明f(x)在X上有界,必须找到一个M>0,使任意x属于X都有 |f(x)|<=M;要证明f(x)在X上无界,只需要找到一个数列{xn}存在于X,使f(xn) n趋于∞,f(xn)趋于∞ 外界
函数有界
,复合
函数必有界
。函数...
函数
的
有界性
是不是指上限和下限相等啊?
答:
函数的上界和下界的绝对值不一定相等。函数在某
区间上
不是有界就是无界,二者必属其一;要证明f(x)在X上有界,必须找到一个M>0,使任意x属于X都有 |f(x)|<=M;要证明f(x)在X上无界,只需要找到一个数列{xn}存在于X,使f(xn) n趋于∞,f(xn)趋于∞ 外界
函数有界
,复合
函数必有界
。函数...
如何证明
函数
在
闭区间上连续
答:
欲证明在开
区间连续
,要证明在每一点都连续。只要证明在这区间内的某一点 有定义,左右极限相等,进而可以证明在开
区间内连续
,但是这一点必须具有任意性。欲证明在
闭区间
连续,先证明在开区间连续,再证明在左端点右连续,在右端点左连续即可
如何证明一个
函数有界
答:
由ƒ (x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。当x越来越接近-1或1时,函数的值就变得越来越大。二、性质 1、单调性
闭区间上
的单调函数必有界。其逆命题不成立。2、连续性 闭区间上的
连续函数必有界
。其逆命题不成立。3、可积性 闭区间上的可积函数必有界。其逆命题不成立。
二元
函数
在
有界闭
区域D
上连续
是二重积分存在的充分条件还是必要条件还 ...
答:
连续
是充分条件,
有界
是必要条件。这个用二元
函数
的达布定理可以证明。设函数f(x)在[a,b]
区间上
可导,虽然导函数未必连续,但是却具有“介值性”。简单说:若f'+(a)>0,f'-(b)<0,则在(a,b)内至少有一点c,使得f'(c)=0。称这个命题为“达布定理”。这是导函数的一个重要...
闭区间上
的可积
函数
是有没
有界
?
答:
但只说
闭区间上
的
有界函数
是不一定可积的。在闭区间上一个单元函数满足后者一定可以推出其也满足前面的系列性质,即闭区间上,从后往前推可以,但从前往后推,未必。具体表现为可导
一定连续
,可导一定可积,可导一定有界,连续一定可积,
连续一定有界
,可积一定有界。
如果说一个
函数有界
,那么它的上界和下界的绝对值
一定
相等吗
答:
函数的上界和下界的绝对值不一定相等。函数在某
区间上
不是有界就是无界,二者必属其一;要证明f(x)在X上有界,必须找到一个M>0,使任意x属于X都有 |f(x)|<=M;要证明f(x)在X上无界,只需要找到一个数列{xn}存在于X,使f(xn) n趋于∞,f(xn)趋于∞ 外界
函数有界
,复合
函数必有界
。函数...
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