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任一子集是闭集
如何证明Rn的任意
子集
的导集
是闭集
?
答:
设E为任意点集,E1为E的闭包,E2为E的内核(即E的内点全体)。用E3表示E的边界点,则E3={x|x∈E1,x不属于E2}(这一定义可在
任一
集合论著作中见到),因此E3=E1-E2。因为E1
为闭集
(E1
包含
E的所有聚点),E2为开集(E2中只有E的内点),所以E3=E1-E2为闭集。集合论是数学的一个基本的分支...
求证:若S的
任一
无穷
子集
在S中都有聚点,则S是有界
闭集
.
答:
设
任一
收敛点列{xn}有lim xn=a,其中xn都属于S。由条件a属于S,因此S对极限运算封闭,故S
是闭集
。
闭集
的定义是什么?
答:
我们把一个集合A的所有极限点所组成的集合称为A的导集,记为A',因此用数学符号来定义闭集的话,
就是:如果A'⊆A,那么A是闭集
。规定空集为闭集。而如果一个集合没有极限点,那么A'=∅。因为空集是任何集合的子集,所以A'⊆A仍然成立,即A仍然是闭集。闭集还有另外一个定义。如...
开集和
闭集
如何理解?
答:
在拓扑空间中,闭集是指其补集为开集的集合
。 由此可以引申在度量空间中,如果一个集合所有的极限点都是这个集合中的点,那么这个集合是闭集。不要混淆于闭流形。相关例子 1、在任何拓扑空间 X 中,空集和整个空间 X 都是闭开集。2、有些拓朴空间内有其他开闭集,如离散空间的任意子集都是闭开集。3...
怎么区分开集
闭集
?
答:
在拓扑空间中,闭集是指其补集为开集的集合
。 由此可以引申在度量空间中,如果一个集合所有的极限点都是这个集合中的点,那么这个集合是闭集。不要混淆于闭流形。设A是度量空间X的一个子集。如果A中的每一个点都有一个以该点为中心的邻域包含于A,即A中每个点都是A的内点,则称A是度量空间X中的...
什么
是闭集
?
答:
任意多个闭集的交集Q
是闭集
;有限多个闭集的并集是闭集。特别的,空集Q和全空间是闭集交集的性质也被用来定义空间X上的集合A的闭包,即X的闭合
子集
中最小A的
父集
。特别的,A的闭包可以通过所有的其闭合父集的交集来构造。单位区间[0,
1
]在实数上是闭集。集在有理数上是闭集,但在实数上并不是闭集...
开集
闭集
的例子
答:
在拓扑学中,在拓扑空间中的闭开集(Clopen set)是既是开集又
是闭集
的集合。例子
1
.在任何拓扑空间 X 中,空集和整个空间 X 都是闭开集。2.有些拓朴空间内有其他开闭集,如离散空间的任意
子集都是闭
开集。3.考虑由两个区间 [0,1] 和 [2,3] 的并集构成的空间 X。在 X 上的拓扑从实直线 ...
关于
闭集
的一个证明题
答:
使得,|Pn|>n 则,
子集
{Pn}在S中无聚点 与已知条件矛盾 所以,S有界 2、S
是闭集
,只需证明S的
任一
聚点位于S中 设,P0是S的任一聚点 由聚点的性质,存在各项互异的点列{Pn}
包含于
S 使得,lim(n趋近∞)Pn=P0 将{Pn}看作S(q)则,S(q)的聚点(即P0)必属于S 所以,S
为闭集
...
实分析(4)-
闭集
和开集
答:
开集的构造与性质开集的构造是通过无尽的子集组合而成的,每个
子集都是
相互独立且可数的。例如,定理4.2和4.3揭示了开集的构成可以是无限多个互不相交的区间或半开闭方体的并集。有限开覆盖定理:Heine-Borel的精髓Heine-Borel定理揭示了有界
闭集
的惊人特性:任何开覆盖都有一个有限子覆盖。这对于理解...
空集有什么概念?
答:
考虑到空集是实数线(或任意拓扑空间)的
子集
,空集既是开集、又
是闭集
。空集的边界点集合是空集,是它的子集,因此空集是闭集。空集的内点集合也是空集,是它的子集,因此空集是开集。另外,空集是紧致集合,因为所有的有限集合是紧致的。 空集的闭包是空集。 有些人会想不通上述第一条性质,即空集是...
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