第1个回答 2023-08-14
首先ln（1+x）=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...+(-1)^(n-1) *x^n/n+...。这是函数的幂级数展开式。
平移一下，lnx=(x-1)-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3-(x-1)^4/4+...+(-1)^(n-1) *(x-1)^n/n+...。
所以lnx<x-1，拓展：e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+。
令F(X)=f（x）—Inx，即证明函数F(X)在x在（1，e）内，方程F(x)=0有一个解。
对F(x)求导有F'(x)=f‘（x）—1/x,又因为函数f(x)在[1，e]上可导，且0<f‘(x)<1，在(1，e)。
f'(x)≠(1/x)，所以F'(x)>0[1，e]上恒成立，所以F(x)单调递减，又F(1)=f（1）>0,F(e)=f（x）—1<0。
所以存在唯一的一个解是的F(x)=0，即在(1，e)内有且仅有一个x，使f(x)＝lnx。
扩展资料：
数学讲求规律和美学，可是圆周率π和自然对数e那样基本的常量却那么混乱，就如同两个“数学幽灵”。人们找不到π和e的数字变化的规律，可能的原因：例如：人们用的是十进制，古人掰指头数数，因为是十根指头。
所以定下了十进制，而二进制才是宇宙最朴素的进制，也符合阴阳理论，1为阳，0为阴。再例如：人们把π和e与那些规整的数字比较，所以觉得e和π很乱，因此涉及“参照物”的问题。那么，如果把π和e都换算成最朴素的二进制。
并且把π和e这两个混乱的数字相互比较，就会发现一部分数字规律，e的小数部分的前17位与π的小数部分的第5-21位正好是倒序关系，这么长的倒序，或许不是巧合。
参考资料来源：百度百科-自然对数
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