牛顿361、变上限定积分函数，简称积分上限函数；证明积分上限函数求导定理
积分上限函数（百度百科）：设函数y=f（x）在区间[a，b]上可积，对任意x∈[a，b]，y=f（x）在[a，x]上可积，且它的值与x构成一种对应关系（如图所示），称Φ（x）为变上限的定积分函数，简称积分上限函数。
如果f（x）在[a，b]上的定积分存在，我们就说f（x）在[a，b]上可积。即f（x）是[a，b]上的可积函数。
可积函数：
数学上，可积函数是存在积分的函数。
定义
设函数f（x）在区间[a，b]上可积。
根据定积分对区间的可加性，有：对任意x（a≤x≤b），f（x）在[a，x]上也可积。
这时，称变上限定积分∫[a，x]f（t）dt为f（x）的积分上限函数，记为Φ（x），
即：d（x）代表对x求微分。
dy/dx中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函数中是，微分的意思。
dx就是对x的微分，是把增量细微化，dx就是很小很小的一个x。
当f（x）≧0时，Φ（x）在几何上表示为可以变动的曲边梯形的面积（图中的阴影部分）。
就是：若f（x）在x0处连续，则当a趋向于0时，[f（x0+a）-f（x0）]/a存在极限，则称f（x）在x0处可导。
定理
设函数f（x）在区间[a，b]上连续，则积分上限函数Φ（x）=∫[a，x]f（t）dt，（a≤x≤b）在[a，b]上可导，并且Φ’（x）=f（x）。
证明：对于任意给定的x∈[a，b]，给x以增量△x，使得x+△x∈[a，b]，
在物理学中，△常常作为变量的前缀使用，表示该变量的变化量，如：△t（时间变化量）、△T（温度变化量）、△X（位移变化量）、△v（速度变化量）等等
根据导数定义，得：Φ’（x）=lim（△x→0）[Φ（x+△x）-Φ（x）]/△x
由Φ（x）的定义及定积分对区间的可加性，有：
Φ（x+△x）-Φ（x）=∫[a，x+△x]f（t）dt-∫[a，x]f（t）dt=∫[x，x+△x]f（t）dt
再由定积分中值定理，得：
△Φ（x）=∫[x，x+△x]f（t）dt=f（ξ）△x，
{定积分中值定理：如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使∫[a，b]f（x）dx=f（ξ）（b-a）。（a≤ξ≤b）
其中，ξ在x和x+△x之间。
∴Φ’（x）=lim（△x→0）[Φ（x+△x）-Φ（x）]/△x
=lim（△x→0）△Φ（x）/△x
=lim（△x→0）f（ξ）△x/△x
=lim（△x→0）f（ξ）
∵f（x）连续
∴lim（△x→0）f（ξ）=f（x）
即：Φ’（x）=f（x）
（∫[a，x]f（t）dt）’=f（x）
证毕。
这个定理说明，任何连续函数都有原函数存在，且积分上限函数Φ（x）=∫[a，x]f（t）dt就是f（x）在[a，b]上的一个原函数。
上述定理也叫做原函数存在定理。
“定义一个变上限积分函数Φ（x）=∫[a，x]f（t）dt，让函数Φ（x）获得增量△x，则对应的函数增量为：
△Φ（x）=Φ（x+△x）-Φ（x）
=∫[a，x+△x]f（t）dt-∫[a，x]f（t）dt
=∫[x，x+△x]f（t）dt（定积分对区间的可加性）