什么是特征根？什么是特征方程的解？

Question

如题所述

Answer 1

特征根是指在特征方程中解出的根，它代表了系统动态行为的本质特性。
单根是指特征方程中解出的唯一一个根，它与其他根不相同。
重根是指特征方程中解出的两个或两个以上的相同根，这些根在数学上被视为同一个根的不同表现。
重根与单根的区别在于，重根有多个相同的值，而单根只有一个独特的值。
例如，对于方程 (x-1)^2=0，它可以写成 x*(x-1)=0，因此方程有两个相同的根 x1=x2=1。在这种情况下，我们称这个根为二重根。
在数学中，一个 n 阶微分方程的通解包含 n 个任意常数。这意味着微分方程的解中有 n 个任意常数，数量与方程的阶数相同。通解构成了一个函数族。
当我们需要根据实际问题找出满足特定条件的解时，这个问题被称为定解问题。定解问题要求我们找到满足特定条件的微分方程解，这些解被称为特解。
对于高阶微分方程，我们可以引入新的未知函数，将其转化为一个一阶微分方程组，从而简化问题的复杂性。详情

Answer 2

特征方程求特征根：就是把微分方程中每一项的导数阶数转化为这一项的幂指数（如：y''变为y^2，y'''变为y^3），系数保持不变，得到的方程就是特征方程，再对特征方程进行求解，得到的就是特征根。
用特征方程是求解常系数线性齐次方程的一个数学方法。