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已知二次函数f（x）满足条件：①f（0）=0；②f（x+1）-f（x）=x+1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设数列{an}的前n项积为Tn，且Tn=tf（n）（实数t＞0），求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn．

第1个回答 2020-05-24

解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，
由f（0）=0得，c=0
又f（x+1）-f（x）=x+1，
则a（x+1）2+b（x+1）-（ax2+bx）=x+1，
化简得，2ax+a+b=x+1，得2a=1a+b=1，解得a=b=12，
所以f（x）=12x2+12x；
（2）因为Tn=tf（n）（实数t＞0），
所以当n=1时，a1=T1=tf（1）=t，
当n≥2时，an=TnTn-1=tf(n)tf(n-1)=tf（n）-f（n-1）
=t12n2+12n-[12(n-1)2+12(n-1)]=tn，
当n=1时，a1也适合上式，所以an=tn，
①当t=1时，数列{an}的前n项和Sn=n；
②当t≠1时，数列{an}的前n项和Sn=t(1-tn)1-t，
综上得，Sn=n，t=1t(1-tn)1-t，t≠1．

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