三角形重心的一些定理的证明，数学高手进~！！！！！！

Question

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 　　2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 　　3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 这么 怎么证明 ~！！！！ 知道的 请指教一下~！！谢谢 了 ~！！！！

Answer 1

1.重心是三角形中线的交点
三角形ABC中BD和CE分别是中线，相交于F
连接DE，因为DE是中位线
所以DF:FB=DE:BC=1:2
即重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1
3.设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
平面上任意一点为（x，y）
则该点到三顶点距离平方和为：
(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2
=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值为
x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2