高中函数的周期性问题

Question

求f(x)=f(x-1)-f(x-2)的周期 答案是T=6

Answer 1

f(x)=f(x-1)-f(x-2) ，

把 x 换成 x+1 有 f(x+1)=f(x)-f(x-1) ，
两式相加，得 f(x+1)= -f(x-2) ，
因此 f(x+6)=f[(x+5)+1]= -f[(x+5)-2]= -f(x+3)= -f[(x+2)+1]= - [ -f(x+2-2)]=f(x) ，
因此周期 T=6 。追问

f(x+6)=f[(x+5)+1]

怎么想到的，我也是做到这个上面那步卡住的。答这个题前提是不知道周期是6。 嘿嘿，再给我讲讲，谢谢:-P

Answer 2

∵f(x)=f(x-1)-f(x-2)

∴f(x) －f(x－1)＋f(x－2)＝0 ①
f(x－1)－f(x－2)＋f(x－3)＝0 ②
①＋②得：f(x) ＋f(x－3)＝0
∴f(x－3)＋f(x－6)＝0
得：f(x)＝f(x－6)
∴周期为 T=6追问

嗯嗯。懂了。谢谢

追答

你这一采纳使我从第五级跨到了第六级！兴奋！

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Answer 3

f(x)=f(x-1)-f(x-2)
f(x-1)=f(x-2)-f(x-3)
f(x)=f(x-1)-f(x-2)=f(x-2)-f(x-3)-f(x-2)=-f(x-3)
f(x+3)=-f(x)
f(x+6)=f[(x+3)+3]=-f(x+3)=-[-f(x)]=f(x)
故f(x)周期为6

Answer 4

（1）∵f(x+2)=-f(x)
∴
f(x+2+2）=-f(x+2)=f（x)
∴f(x)周期4的周期函数
（2)只需计算一个周期[0,4]内f(x)=-1/2的所有x的值
在这个周期内只有一个解x=3
因为f（3）=-f(1)=-1/2
所以所有解
x=4k+3,k∈z,0,≤4k+3≤2013，-3/4≤k≤1005/2
k=0,1,2,3............502,总共503个
求采纳！！