如何证明旋转体表面积积分公式

Question

如题所述

Answer 1

曲线方程 f(x)

dS=2π*∫f(x)*√[1+f'(x)^2] dx

从 a积到b

图中那个灰色的带环就是表面积的微元dS，它应该等于这个带子的周长乘以宽度，带子的周长为2πf(x)。

因为这个带子的宽度并不是一个线段，而是弧线，因此这里要用弧微分，就是ds，根据弧微分公式，ds=√(1+f(x)^2)dx这样我们就可得到微元，dS=2πf(x)*√(1+f(x)^2)dx。

旋转曲面的面积

设平面光滑曲线 C 的方程为  

（不妨设f(x) ≥0）这段曲线绕 x 轴旋转一周得到旋转曲面，如图3所示。则旋转曲面的面积公式为：

如果光滑曲线 C 由参数方程：给出，且 y(t) ≥0，那么由弧微分知识推知曲线 C 绕 x 轴旋转所得旋转曲面的面积为 [1]  ：

扩展资料：

一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体。

旋转体形成的两个要素是：一是被旋转的平面图形，二是旋转轴。

比如等腰三角形绕过底边上的高的直线旋转一周构成的图形性就是一个旋转体——圆锥.还有圆柱、圆台、球等都是旋转体.图为圆O绕过圆心的直线AB旋转一周所成的球。

旋转轴是旋转对称动作据以进行的几何直线。旋转轴是旋转对称动作据以进行的几何直线。旋转动作作用于图像(或分子)时，图像中任一点与旋转轴(线)间的垂直距离要求始终保持恒定。

设旋转的基转角α=2π/n，因在2π角度范围内独立、不等同的旋转动作种数为n，据此将与旋转基本动作L(2π/n)对应的轴称为n重旋转轴，记作n。n重旋转轴的对称阶次是n。

比如正方形，  ，基转角  。所以  重的意思，就是在一个圆周内，有  个位置，几何图形是重合的。因此正  边形是  重旋转轴。

在电机领域，旋转轴电机，与直线轴电机是对应的概念，旋转轴电机指电机的主要运动输出为圆形，而直线轴电机将电机输出转化为直线。

参考资料：百度百科-旋转曲面