微分方程y'=1+y/x满足初始条件y(1)=0的特解为________

Question

标答为y=xlnx 麻烦写下过程~~~~~~~~~~~~~~

Answer 1

y'-(1/x)y=1
通常做法就是等式两边同时乘以e^(y前面东西的积分），这里y前面的东西是-1/x，所以就乘以e^(-lnx)
（不过如果可以直接看出来-1/(x^2)是1/x的倒数，那么写成左右同时乘以1/x也可以，不过这是特殊情况，按一般做法一定对）
e^(-lnx)y'-(1/x)(e^(-lnx))y=e^(-lnx)
(e^(-lnx)y)'=1/x
(e^(-lnx))y=lnx+C
y=xlnx+Cx(即为通解）
然后根据y(1)=0，解出来C=0
所以特解为y=xlnx
注意e^(-lnx)=e^(ln(x^-1))=x^-1=1/x