在算法分析中，主定理（英语：master theorem）提供了用渐近符号表示许多由分治法得到的递推关系式的方法。
基本介绍
中文名 ：主定理 外文名 ：master theorem 推广形式 ：包括Akra-Bazzi定理 出自 ：《算法导论》 用途 ：分治算法（时间复杂度计算）
简介,定理,算法分析,分治法,
简介
在算法分析中，
主定理 （英语：master theorem）提供了用渐近符号（大O符号）表示许多由分治法得到的递推关系式的方法。这种方法最初由Jon Bentlery，Dorothea Haken和James B. Saxe在1980年提出，在那里被描述为解决这种递推的“天下无敌法”(master method)。此方法经由经典算法教科书Cormen，Leiserson，Rivest和Stein的《算法导论》 (introduction to algorithm) 推广而为人熟知。
定理
不过，并非所有递推关系式都可套用主定理。该定理的推广形式包括Akra-Bazzi定理。 假设有递推关系式 ，其中 为问题规模， 为递推的子问题数量， 为每个子问题的规模（假设每个子问题的规模基本一样）， 为递推以外进行的计算工作。 a≥1，b>1为常数，f(n) 为函式，T(n) 为非负整数。则有以下结果（分类讨论）： （1）若 那么 （2）若 那么 （3）若 且对于某个常数 和所有充分大的 有 那么
算法分析
在计算机科学中，
算法分析 （英语：Analysis of algorithm）是分析执行一个给定算法需要消耗的计算资源数量（例如计算时间，存储器使用等）的过程。算法的效率或复杂度在理论上表示为一个函式。其定义域是输入数据的长度（通常考虑任意大的输入，没有上界），值域通常是执行步骤数量（时间复杂度）或者存储器位置数量（空间复杂度）。算法分析是计算复杂度理论的重要组成部分。 理论分析常常利用渐近分析估计一个算法的复杂度，并使用大O符号、大Ω符号和大Θ符号作为标记。举例，二分查找所需的执行步骤数量与查找列表的长度之对数成正比，记为{\displaystyle O(\log n)}，简称为“对数时间”。通常使用渐近分析的原因是，同一算法的不同具体实现的效率可能有差别。但是，对于任何给定的算法，所有符合其设计者意图的实现，它们之间的性能差异应当仅仅是一个系数。 精确分析算法的效率有时也是可行的，但这样的分析通常需要一些与具体实现相关的假设，称为计算模型。计算模型可以用抽象机器来定义，比如图灵机。或者可以假设某些基本操作在单位时间内可完成。 假设二分查找的目标列表总共有 n 个元素。如果我们假设单次查找可以在一个时间单位内完成，那么至多只需要{\displaystyle \log n+1}单位的时间就可以得到结果。这样的分析在有些场合非常重要。 算法分析在实际工作中是非常重要的，因为使用低效率的算法会显著降低系统性能。在对运行时间要求极高的场合，耗时太长的算法得到的结果可能是过期或者无用的。低效率算法也会大量消耗计算资源。
分治法
在计算机科学中，
分治法 是建基于多项分支递归的一种很重要的算法范式。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。 这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法（快速排序、归并排序）、傅立叶变换（快速傅立叶变换）。 另一方面，理解及设计分治法算法的能力需要一定时间去掌握。正如以归纳法去证明一个理论，为了使递归能够推行，很多时候需要用一个较为概括或复杂的问题去取代原有问题。而且并没有一个系统性的方法去适当地概括问题。
分治法 这个名称有时亦会用于将问题简化为只有一个细问题的算法，例如用于在已排序的列中查找其中一项的折半搜寻算法（或是在数值分析中类似的勘根算法）。这些算法比一般的分治算法更能有效地运行。其中，假如算法使用尾部递归的话，便能转换成简单的循环。但在这广义之下，所有使用递归或循环的算法均被视作“分治算法”。因此，有些作者考虑“分治法”这个名称应只用于每个有最少两个子问题的算法。而只有一个子问题的曾被建议使用
减治法 这个名称。