已知函数f(x)=x2+x+q,集合A={x|f(x)=0,x属于R},B={x|f(f(x))=0,x属于R}若B为单元素集，求q

Question

请写下详细的解题过程，谢谢

Answer 1

f(x) = 0 即x^2+x+q=0 Δ=1-4q 说明集合A为f(x)=0 解的集合 设f(x) =0 的解为x1,x2
那么集合B就是 满足 f(x)=x1 或f(x) = x2 解的集合
有三种情况
x^2+x+q=0 Δ<0 q>1/4 无解(x1,x2不存在) 则集合A为空集 显然此时集合B也为空集 不符合B为单元素集的情况 舍去
x^2+x+q=0 Δ=0 q=1/4 有一个解(x1=x2=-1/2) 则集合A为单元素集 此时 f(x)=-1/2 无解 也不符合已知条件 舍去
x^2+x+q=0 Δ>0 q<1/4 有两个解(x1,x2) 则集合A为两元素集
f(x) = x1 (1)
f(x)= x2 (2)
此时 要使B为单元素集 必须使一个方程无解 且一个方程只有唯一解
不妨设(1)方程有唯一解 且(2)方程无解
算出(1)的Δ = 1-4q+4x1 = 0 所以 x1= q-1/4
(2) Δ =1-4q+4x2 < 0 所以 x2<q-1/4=x1
说明x1 是方程f(x) = 0 根中大的那个 于是 x1 = (-1+√1-4q) /2 = q-1/4
解的 q = -12+8√3 或 q = -12 - 8√3
而 当 q = -12 + 8√3 时 方程f(x) = 0 无解 所以舍去
故 最后 q = -12 - 8√3追问

为什么题目答案给的是（2√3-3）/4？

追答

算错了
解得 q = (-3+2√3)/4 或者 (-3-2√3)/4
当 q = (-3-2√3)/4 时 不能满足 x2 < q-1/4 舍去
所以 q = (-3+2√3)/4

追问

为什么抓住f(x)进行讨论？
集合A与B有什么联系？？

追答

集合A为f(x)=0 解的集合 设f(x) =0 的解为x1,x2
那么集合B就是 满足 f(x)=x1 或f(x) = x2 解的集合

Answer 2

依题意有,f(f(x))=0有必然有两个实数解,即f(x)=a和f(x)=b.
若a=b,则其必为f(x)min=f(-0.5)=q-1/4,否则B不为单元素集
若a不等于b,则其中之一必等于f(x)min,而另一个小于f(x)min,否则B也不为单元素集

所以求出q之后还要验证

你自己算一下答案吧,我现在算不了追问

f（x）最小值f（-0.5)哪来的？

追答

对称轴啊！这个你们肯定学过的
解出来和答案一样

Answer 3

怎么没有和A有关的条件？追问

有个第一问若q等于-2，求A，B（这个对第二个有影响吗）

追答

这样做，（x^2+x+q)^2+(x^2+x+q)+q=(x+k)^4 待定系数求解就可以

追问

详细点....

追答

把两边方程展开，然后比较每一项的系数 得， x^4+(2+2q)x^2+2x^3+(1+2q)x+2q+q^2 =
x^4+4kx^3+6k^2x^2+4k^3x+k^4 得 q+1=3k^2 2q+q^2=k^4 得8q^2+16q-1=0 在解方程就可以

追问

可以说下怎么想到待定系数法的吗？
还有那个B为单元素集可以得到些什么（可以怎么思考？？）

追答

这个啊，因为四次方程只有一个元素解就是只有一个解，那么四次的形式一定是（x+k)^4这样，一共两个未知数，展开就可以待定了

追问

算出来两个答案，怎么排除？而且和答案不一样...

追答

验算，用待定系数法不是可以得到三个方程么，两个未知数，带进去，如果都对就都是的