已知园的方程为X2+Y2-2ax+2(a-2)y+2=0,其中a≠1,且a∈R (1)求证a取不为1的实数值时，上述园横过定点；

Question

(2)求与园相切的直线方程；
（3）求圆心的轨迹方程
谢谢

Answer 1

1）取a=0,2,得x^2+y^2-4y+2=0,(1)
x^2+y^2-4x+2=0,(2)
(1)-(2),4x-4y=0,y=x,(3)
代入（1）/2，x^2-2x+1=0,x=1,
代入（3），y=1.
检验知，上述圆恒过定点（1,1）。
（2）配方得[x-a]^2+[y-(2-a)]^2=2a^2-4a+2.
圆心坐标：x=a,y=2-a,
∴圆心的轨迹方程是y=2-x.
(3)设切线方程为y-1=k(x-1),即kx-y-k+1=0,
|ka-(2-a)-k+1|/√（k^2+1)=|a-1|√2，
|（a-1)(k+1)|=|a-1|√[2(k^2+1)],a≠1，
∴|k+1|=√[2(k^2+1)],
平方，化简得k^2-2k+1=0,k=1.
∴所求切线方程是x-y=0.

Answer 2

圆的方程化简为
（x-a）^2+（y+a-2）^2=2（a-1）^2
代入点（1，1），等式成立
可知该圆恒过点（1，1）

恒过点（1，1），说明所有圆均以（1，1）为切点
可得切线方程y=x
圆心轨迹方程y=2-x追问

能不能再详细点？？
谢谢

追答

前面化简不说了
后面切线
你可以任取一个值（比如a=2）代入 得到一个圆心（2，0）
然后切点（1，1）
两点相连即为垂直于切线的法线
法线方程可求得（y=2-x）
切线斜率为法线斜率的负倒数
即为1
联立切点可得切线方程
而法线即为该组圆的圆心移动轨迹方程