数学高一菂几道三角函数题~（在线等）

Question

1.化简：COS^4a-1/4COS^22a-1/2COS2a
2.若a是第二象限角，则sina*seca*根号(csc^2a-1)等于多少？
3.已知tana+cota=4,则sina等于多少？
4.已知cosa=1/3,cos(a+b)=-3/5,且a,b都是锐角，则cosb等于多少？
5.若cosx为增函数，sinx为减函数，则x是多少？

Answer 1

第一题：
COS^4a-1/4COS^22a-1/2COS2a
=1/4（4cos^4a-cos^2a-2cos2a)
=1/4{(2co^2a)^2-cos^2a-2cos2a}
=1/4{(cos2a+1)^2-cos^2a-2cos2a}
=1/4{cos^2a+2cos2a+1-cos^2a-2cos2a}}
1/4
第二题：
利用取特殊值法，取a=45°，代入
sina*seca*根号(csc^2a-1)，即可求出为1
第三题：
tana+cota=4两边都乘以sinacosa
sinacosa(tana+cota)=4sinacosa
sin^2a+cos^2a=4sinacosa
所以得到方程式一，sinacosa=1/4
而方程式二：sin^2a+cos^2a=1
由方程式一，二联立便可求得sina=正负根号17分之4
第四题：
因为cosa=1/3，而a又是锐角，
可以求得sina=三分之根号2
而cos(a+b)=-3/5,
即cosacosb-sinasinb=5/3
代入cosa=1/3，sina=三分之根号2
得方程式一 cosb-（2*根号2)*sinb=5
又有方程式二 sin^2a+cos^2a=1
两式联立求得（8乘以根号2）除以15 减去0.2
第五题：
因为
cosx为增函数，所以它的导数小于0，即-sinx<0
sinx为减函数，所以它的导数大于0，即cosx>0
因此tanx<0.这样求得x 的范围如下

( k-1/2 )π< x<=(k+1)π 此为方程式一，
又因为cosx为增函数，其自身的增函数区间为
(2 k-1/2 )π<= x<=(2k+1/2)π，此为方程式二
又因为sinx为减函数，其自身的减函数区间为
(2 k+1/2 )π<= x<=(2k+3/2)π，此为方程式三
由方程式一二三联立，求公共区间为
( k+1/2 )π<x<=(k+3/4)π

Answer 2

1,COS^4a-1/4COS^22a-1/2COS2a
=(cos^2(a))^2-1/4*cos^2(2a)-1/2*cos(2a)
={1+cos(2a)]/2}2-1/4*cos^2(2a)-1/2*cos(2a)
=1/4+1/4*cos^2(2a)+1/2*cos(2a)-1/4*cos^2(2a)-1/2*cos(2a)
=1/4

2,sina*seca*√(csc^2a-1)
=sina*1/cosa*|cota|
=tana*|cota|
=-1

3,tana+cota=4则tana+1/tana=4，则tan^2(a)+1=4tana
解这个方程，得tana=2±√3，
所以sina=√（2±√3）/2或
sina=-√（2±√3）/2

4，由于a,b为锐角，cosa=1/3，容易算出sina=2√2/3
所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb=1/3*cosb-2√2/3*sinb
所以1/3*cosb-2√2/3*sinb=-3/5
所以1/3*cosb+3/5=-2√2/3*sinb
两边平方1/9cos^2(b)+2/5*cosb+9/25=8/9(1-cos^2(b))
解这个方程，得:cosb=(±8√2-3)/15
因为b是锐角，所以取cosb=(8√2-3)/15

5,因为cosx在三四象限为增函数，sinx在二三象限为减函数，所以在第三象限，cosx为增函数，sinx为减函数，所以x属于[(2k+1)π,(2k+3/2)π],其中k∈Z.本回答被提问者采纳

Answer 3

1.
COS^4a-1/4COS^22a-1/2COS2a
=cos^4a-1/4(2cos^2a-1）^2-1/2(2cos^2a-1)
=cos^4a-1/4(4cos^4a+1-4cos^2a)-cos^2a+1/2
=1/4
2.
sina*seca*根号(csc^2a-1)
=sina/cosa*√(1/sin^2a-1)
=tga*√[(sin^2a+cos^2a)/sin^2a-1]
=tga*(-ctga)
=-1
3.
tga+ctga=4
1/ctga+ctga=4
ctg^2a+1-4ctga=0
解得ctga=2±√3,
ctg^a=7±4√3
sina=±√1/(1+ctg^2a)=±√2/2(√3±1)
即sina=（√6+√2）/4，（√6-√2）/4,
-（√6+√2）/4,-，（√6-√2）/4
4.由于a,b为锐角，cosa=1/3，容易算出sina=2√2/3
所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb=1/3*cosb-2√2/3*sinb
1/3*cosb-2√2/3*sinb=-3/5
1/3*cosb+3/5=-2√2/3*sinb
两边平方1/9cos^2(b)+2/5*cosb+9/25=8/9(1-cos^2(b))
解这个方程，得:cosb=(±8√2-3)/15
因为b是锐角，所以取cosb=(8√2-3)/15
5.cosx为增函数，所以(2k-1)π≤x≤2kπ
sinx为减函数，所以(2k-3/2)π≤x≤(2k-1/2)π
所以(2k-1)π≤x≤(2k-1/2)π

Answer 4

3
tana+1/tana=4解方程
或是两边都乘以sinacosa
4sinacosa=1
sinacosa=1/4
(sina+cosa)平方=1+2*1/4=3/2
一元二次方程两根之和，两根之积都知道了，列方程求解就行了。

Answer 5

1. 答案为 1/4
2. 答案为-1
3. 答案为(2加或减根号3）除以4
4. 答案为（8乘以根号2）除以15 减去0.2
5. 答案为 ( k+1/2 )π<= x<=(k+3/4)π