第1个回答 2022-07-28
玩智取“王位” 探极简模型——聆听思维力在且玩且乐中的拔节之声
2019年4月12日上午8时许，中国教育科学研究院培训中心邓永刚主任、于浩讲师，江西省装备站林建军副主任，在景德镇市教育局、电教馆，乐平市教体局、电教站有关领导陪同下来到乐平九小进行全国教育科学“十三五”教育部规划课题“益智课堂与思考力培养的实践研究”江西子课题调研。
期间，乐平七小徐敏老师给大家执教了一节展示课——《智取王位》。于浩讲师在座谈交流中点评道：益智器具课堂不仅仅停留在“玩”与“解”上，更要侧重“思”上。让孩子在训练中经历思维刺激，训练瞬间判断能力，提升逻辑推理能力，形成递归、迭代思想，树立数学建模意识，探寻极简模型，体验建模方法。
邓永刚主任强调，益智课堂关注点在人的思维，要让学生充分地经历思维刺激，深度思考；教师要革新观念，充分经历思维困顿，促进课堂生成，提升专业发展。省装备站林建军副主任指出，教师要有创造性的开展研究，促进孩子思维、智力发展，为社会发展培育后续人才。
受《智取王位》展示课与各位专家点评的启发，我对智取王位产生了兴趣，进行了一些深入研究，并给自己班上孩子上了这节课，让我聆听到了孩子们在且玩且乐中思维力拔节成长的声音。
智取王位是一项益智器具游戏。在一排木槽内有十一颗棋子，最后一颗为红色。游戏规则是：两人轮流取棋子，每次取1～2颗。谁能取得最后一颗红棋子——“王位”，即获胜。
乍一看似乎与运气有关，事实上，内含玄机，有规律可循。不妨引导学生由少到多，循序渐进，探究其中蕴含的规律。
首先引导学生明白在本游戏当中游戏规则是：1.两人轮流取棋子；2.每次取1～2颗；3.取到最后一颗获胜。
其次引领学生深入游戏，深刻体验，反复琢磨，探究内情。
带领孩子，又少及多，循序渐进，边玩边解边思。不难发现，当棋子为一颗或者是两颗的时候，先拿者，必定获胜。当棋子为三颗的时候后拿者必胜。其中策略有二：一、当先拿者取一颗的时候，后拿者取两颗获胜，即1+2型；二、当先拿者取两颗的时候，后拿者取一颗获胜，即2+1型。
这时让学生反复动手操作并体验：当只有一颗或两颗棋子时，先取棋子者必胜；当有三颗棋子时，后取者棋子者必胜。
随后，追加旗子。发问：当有四颗旗子的时候，先拿者还是后拿者获胜？让学生实践操作，在操作中体验并得出结论：先取者取一颗后，剩下三颗，此时后拿者即本赛次中的先拿者，必胜。关键是必须先取一颗，才能保证必胜。取两颗则输。同理，当有五颗棋子的时候，可以得出结论：先取者取两颗棋子后，剩下三颗，此时后拿者即本赛次中的先拿者，必胜。关键是必须先取两颗，才能保证必胜。取一颗则输。这两次策略的区别就是先取者第一次取一颗还是两颗。事实上目的是一致的，都是剩下三颗。剩下三颗棋子时，谁赢谁输一目了然。经过这一实践，可以得出结论：当有四颗或者五颗棋子时，先取棋子者必胜。
紧接着试验，当有六颗棋子时的情形。让学生分组反复操作，在操作中感悟到，后拿者必胜。策略同样有二：一、当先取者取一颗的时候，后取者取两颗，剩下三颗，重复三颗时的策略，必胜；二、当先取者取两颗的时候，后取者取一颗，剩下三颗，重复三颗时的策略，必胜。
依次类推，循序渐进，让学生推测当有七、八、九颗棋子时先取者还是后取者必胜，然后进行验证与感悟。
最后让学生体验到一、二、三颗，四、五、六颗，七、八、九颗棋子时情形是一致的，只不过是情形再现或重复。
事实上本游戏的核心就是三颗旗子时的取子策略问题。即本游戏有一个本质的极简模型——被3整除问题。当除数为3时，所有的非零自然数被分为余1数、余2数、整除数。要想获胜需设法必取余1数，绝不取整除数，余2数为调剂数。
如此一来，无论是11颗棋子还是另行增设棋子，当一方不知“内情”，知“内情”的一方定会伺机取胜。
游戏规则是人定的，一旦改变了游戏规则，游戏策略则需要重新探索。假如规定每次可以取一颗、两颗或三颗，怎样才能必胜呢？
此时可以引导学生采取同样的探究方法与策略进行探索。
当棋子数为1∽3颗时，先取者必胜，当四颗棋子时，后取者必胜，策略有：1+3型，2+2型，3+1型。当五颗棋子时，先取者必胜，策略有：1+1+3型，1+2+2型，1+3+1型。事实上就是先取者先取一颗棋子后，转变为四颗棋子时后取者（即本赛次先取者）必胜。
同理，当六颗棋子时，先取者必胜，策略有：2+1+3型，2+2+2型，2+3+1型。事实上就是先取者先取两颗后，转变为四颗旗子时后取者（即本赛次先取者）必胜。
当七颗棋子时，先取者必胜，策略有：3+1+3型，3+2+2型，3+3+1型。事实上就是先取者先取三颗后，转变为四颗旗子时后取者（即本赛次先取者）必胜。
当八颗棋子时，后取者必胜，策略是按照四颗棋子时策略运用两次。
同前款游戏类似，本次游戏的核心就是四颗棋子时的取子策略问题。即本游戏有一个本质的极简模型——被4整除问题。当除数为4时，所有的非零自然数被分为余1数、余2数、余3数、整除数。要想获胜需设法必取余1数，绝不取整除数，余2数与余3数为调剂数。
当学生彻底感悟与体认后，游戏规则还可以进一步更改。通过实验，分析与推理可以得出更广泛更一般的模型。
游戏规则是：两人轮流取棋子，每次取1~n颗。谁能取得最后一颗红旗子——“王位”，即获胜。
必胜策略：本游戏的极简模型——被n+1整除问题。当除数为n+1时，所有的非零自然数被分为余1数、余2数、余3数……余n数、整除数。要想获胜需设法必取余1数，绝不取整除数，余2数、余3数……余n数为调剂数。