第1个回答 2024-05-24
在理论力学中，物体的自由度定义为确定物体位置所需的独立坐标数。当物体受到限制时，其自由度会减少。例如，一个在三维空间中自由运动的质点，其位置由三个独立坐标确定，因此具有三个自由度。若将其限制在一个平面上运动，则有两个自由度；若限制在一条直线上运动，则只有一个自由度。刚体在空间中的运动包括平动和转动，共有六个自由度，即三个平动自由度（x、y、z）和三个转动自由度（a、b、q）。若刚体运动存在限制，其自由度将相应减少。
在热力学中，分子运动的自由度是指决定一个分子在空间位置所需的独立坐标数目。
在统计学中，自由度指的是样本中可以自由变动的变量个数。当有约束条件时，自由度减少。自由度的计算公式为：自由度 = 样本个数 - 样本数据受约束条件的个数，即 df = n - k（其中 df 表示自由度，n 表示样本个数，k 表示约束条件个数）。
总体方差是衡量所有数据对中心位置（总体平均）平均差异的概念，也称为离散程度，通常表示为 σ^2。样本方差则是利用样本数据计算出来的，用于估计总体变异。为了满足样本统计量的无偏性特性，即估计量的数学期望值等于被估计的总体参数，样本方差的计算需要进行修正，即使用修正后的公式 sum(Xi - Xbar)^2/(N-1) 来计算，从而引入自由度的概念。
金志成实验设计书中的定义认为，自由度是能独立变化的数据数目。只要有 n-1 个数确定，第 n 个值就确定了，它不能自由变化。自由度表示的是一组数据可以自由变化的数量多少。
通俗地说，如果一个班级有50个人，我们知道他们的语文成绩平均分为80，现在只需要知道49个人的成绩就能推断出剩下那个人的成绩。因为平均分已经固定，所以自由度少一个。
自由度的设定是因为在总体平均数未知时，用样本平均数计算离差会受到限制。要计算标准差，必须先知道样本平均数，而在样本平均数和 n 都知道的情况下，数据的总和是一个常数。因此，“最后一个”样本数据不能变化，因为它变化会导致总和变化，这是不允许的。通常采用 n-1 作为自由度的计算方法，更准确地说应该是 n-k，其中 n 表示“处理”的数量，k 表示实际需要计算的参数数量。例如，需要计算两个参数时，数据中只有 n-2 个数据可以自由变化。这种 df=n-k 的计算方法需要大量的数理统计证明，复杂的情况则不再讨论。详情