tanx的二阶泰勒公式怎么用

Question

如题所述

Answer 1

递推归纳法，令an=∫(tanx)^ndx
k=1，∫tanxdx=lnsecx=ln√2<ln√e=1/2
以及>1/4=1/2(k+1)
k=2，∫tan²xdx=tanx-x=1-π/4<1/4
同理，推得1/2(k+1)<ak<1/2k，而后验证即可
…∫(tanx)^kdx=∫(sec²x-1)(tanx)^(k-2)dx
=∫(tanx)^(k-2)dtanx-∫(tanx)^(k-2)dx
=(tanx)^(k-1)/(k-1)-∫(tanx)^(k-2)dx
=1/(k-1)-a(k-2)