已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b属于R)

Question

已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b属于R)，（1）求函数f(x)的单调递增区间。（2）若对任意a属于[3,4]，函数f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围。

Answer 1

（1）令导函数f'(x)=-3x^2+2ax>=0,即x(3x-2a)<=0
1:当a=0时不存在单调增区间。
2：当a>0时[0,2a/3]为单增区间
3：当a<0时[2a/3,0]为单增区间。
（2）当a属于[3,4]时f(x)在（-∞，0）单减。在[0,2a/3]单增，在(2a/3,+∞)单减。要有3个零点，必须满足f（0）<0,f(2a/3)>0即可。
得b<0,-8a^3/27+4a^3/9+b>0
0>b>-4a^3/27
又a属于[3,4],则-4<b<0

Answer 2

1可求导，或，分类X3全是单增，而分类这个X2，的单增和a有关系。
2就是求导，很简单的。