f(x)=x³+px²+qx,只存在两个零点x1=0，x2=a，且fx存在极值点x=x0，p+q=3x0,求 解

Question

f(x)=x³+px²+qx,只存在两个零点x1=0，x2=a，且fx存在极值点x=x0，p+q=3x0,求 解析式

Answer 1

f(x)=x(x²+px+q)=0
则x=0,x²+px+q=0
两个零点
有两种情况
(1)
x²+px+q=0的两个解都是x=a
且a≠0
则△=p²-4q=0
q=p²/4
且显然p≠0，否则x=0

f'(x)=3x²+2px+q
x=x0是极值点
则3x0²+2px0+q=0
p+q=p+p²/4=3x0
代入
3(p/3+p²/12)²+2p(p/3+p²/12)+p²/4=0
p²+16p+60=0
p=-6，p=-10
q=9，q=25

(2)
x²+px+q=0中x1=0,x2=a
则q=0
x(x+p)=0
p=-a

f'(x)=3x²+2px=0
x=x0
则3x0²+2px0=0
p+q=p=3x0
所以3p²/9+2p*p/3=0
p=0，则此时a=0，舍去

所以
f(x)=x³-6x²+9x
或f(x)=x³-10x²+25x