第1个回答 2011-03-16
首届全国大学生数学竞赛决赛试卷
（非数学类，2010）
考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分.
一、 计算下列各题（共20分，每小题各5分，要求写出重要步骤）.
(1) 求极限 .
(2) 计算 ，其中 为下半球面 的上侧， .
(3) 现要设计一个容积为 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积 元，而侧面的材料费为单位面积 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？
(4) 已知 在 内满足 ，求 .
二、（10分）求下列极限
(1) ； (2) , 其中 .
三、（10分）设 在 点附近有定义，且在 点可导， . 求 .
四、（10分）设 在 上连续，无穷积分 收敛. 求 .五、（12分）设函数 在 上连续，在 内可微，且 . 证明：(1) 存在 使得 ；(2) 存在 使得 .
六、（14分）设 为整数，
.
证明: 方程 在 内至少有一个根.
七、（12分）是否存在 中的可微函数 使得 ？若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明.
八、(12分)设 在 上一致连续，且对于固定的 ，当自然数 时 . 证明: 函数序列 在 上一致收敛于0.