已知向量a=(cos3/2x,sin3/2x),向量b=(cosx/2,-sinx/2),且x属于[0,pai]

Question

1.求向量a乘向量b及／向量a+向量b／
2.若f(x)=m／向量a+向量b／-向量a乘向量b ，求f(x)最大值和最小值 m属于R的最大值

Answer 1

1.(1)=cos3x/2cosx/2-sin3x/2sinx/2=cos(3x/2+x/2)=cos2x
(2)向量a+向量b=(cos3x/2+cosx/2,sin3x/2-sinx/2)=(2cosxcosx/2,2cosxsinx/2)=2cosx(cosx/2,sinx/2)
所以 |向量a+向量b|=2|cosx|
2.所以f(x)=2m|cosx|-cos2x
1）当x属于[0，π/2],f(x)=2mcosx-cos2x=2mcosx-2cos^2x+1=-2(cosx-m/2)^2+m^2/2+1
如果m>=2,最大值是f(0)=2m-1.最小值是f(π/2)=1
如果0<m<2,最大值是f(arccosm/2)=m^2/2+1,观察:f(0)=2m-1,f(π/2)=1,此时当0<m<1,最小值为f(0)=2m-1，当1<m<2，最小值是f(π/2)=1，
如果m<=0,则最大值是f(π/2)=1,最小值是f(0)=2m-1
2）当x属于(π/2,π],f(x)=-2mcosx-cos2x=-2mcosx-2cos^2x+1=-2(cosx+m/2)^2+m^2/2+1
如果m>=2,最大值是f(π)=2m-1.最小值是f(π/2)=1
如果0<m<2,最大值是f(arccosm/2)=m^2/2+1,观察:f(π)=2m-1,f(π/2)=1,此时当0<m<1,最小值为f(π)=2m-1，当1<m<2，最小值是f(π/2)=1，
如果m<=0,则最大值是f(π/2)=1,最小值是f(π)=2m-1
综上所述，当m>=2，最大值是2m-1.最小值是1
当0<m<=1，最大值是m^2/2+1，最小值为2m-1
当1<m<2，最大值是m^2/2+1，最小值是1，
当m<=0,最大值是1,最小值是2m-1