第1个回答 2022-07-10
定义：设V是数域P上的一个线性空间, 是V中一组向量, 是数域P中的数,则向量 称为向量组 的一个线性组合,此时也称向量 可用向量组 线性表出
设 , 是V中两个向量组,若前者每个向量都可用后者线性表出,则称前者可用后者线性表出,若两向量组可互相线性表出,则称它们等价
对线性空间V中向量 ,若在数域P中有r个不全为零的数 使 ,则称 线性相关,若 不线性相关,则称为线性无关,即仅在 时 成立
1.单个向量 线性相关
2.两个以上的向量 线性相关 其中有一个向量是其余向量的线性组合
3.若向量组 线性无关,且可被 线性表出,则
4.两个等价的线性无关的向量组必含有相同个数的向量
5.若向量组 线性无关,向量组 线性相关,则 可被 线性表出,且表示法唯一
定义：若在线性空间V中有n个线性无关的向量,但没有更多数目的线性无关的向量,则V称为n维的,若在V中可以找到任意多个线性无关的向量,则V称为无限维的
例：
1.几何空间中向量所成的线性空间是3维的
2.n元数组所成的线性空间是n维的
3.所有实系数多项式所成的线性空间是无限维的
( ,有n个线性无关的向量 )
注：无限维空间与有限维空间有较大差别,但线性表出、线性相关、线性无关等性质,只要不涉及维数和基,则都成立
定义：在n维线性空间V中,n个线性无关的向量 称为V的一组基,设 是V中任一向量,则 线性相关,故 可被 线性表出, ,其中系数 被向量 和基 唯一确定,这组数称为 在基 下的坐标,记作
定理：若在线性空间V中有n个线性无关的向量 ,且V中任一向量都可用它们线性表出,则V是n维的, 就是V的一组基
证明：
例：在线性空间 中, 是n个线性无关的向量,且每个次数小于n的数域P上的多项式都可被它们线性表出,故 是n维的,而 即为它的一组基,在这组基下,多项式 的坐标即为它的系数
若在V中取另一组基 ,则按照泰勒展开公式 ,故f(x)在基 下的坐标为
例：在n维空间 中,显然 是一组基,对每一向量 都有 ,故 为向量 在这组基下的坐标
也为 的一组基,在这组基下,对向量 有 ,故 在这组基下的坐标为
例：将复数域K看作自身上的线性空间,则它是一维的,数1即为一组基,若看作是实数域上的线性空间,则它是二维的,数1与i即为一组基
注：维数与所考虑的数域有关