第1个回答 2022-07-10
定义:设V是数域P上的一个线性空间, 是V中一组向量, 是数域P中的数,则向量 称为向量组 的一个线性组合,此时也称向量 可用向量组 线性表出
设 , 是V中两个向量组,若前者每个向量都可用后者线性表出,则称前者可用后者线性表出,若两向量组可互相线性表出,则称它们等价
对线性空间V中向量 ,若在数域P中有r个不全为零的数 使 ,则称 线性相关,若 不线性相关,则称为线性无关,即仅在 时 成立
1.单个向量 线性相关
2.两个以上的向量 线性相关 其中有一个向量是其余向量的线性组合
3.若向量组 线性无关,且可被 线性表出,则
4.两个等价的线性无关的向量组必含有相同个数的向量
5.若向量组 线性无关,向量组 线性相关,则 可被 线性表出,且表示法唯一
定义:若在线性空间V中有n个线性无关的向量,但没有更多数目的线性无关的向量,则V称为n维的,若在V中可以找到任意多个线性无关的向量,则V称为无限维的
例:
1.几何空间中向量所成的线性空间是3维的
2.n元数组所成的线性空间是n维的
3.所有实系数多项式所成的线性空间是无限维的
( ,有n个线性无关的向量 )
注:无限维空间与有限维空间有较大差别,但线性表出、线性相关、线性无关等性质,只要不涉及维数和基,则都成立
定义:在n维线性空间V中,n个线性无关的向量 称为V的一组基,设 是V中任一向量,则 线性相关,故 可被 线性表出, ,其中系数 被向量 和基 唯一确定,这组数称为 在基 下的坐标,记作
定理:若在线性空间V中有n个线性无关的向量 ,且V中任一向量都可用它们线性表出,则V是n维的, 就是V的一组基
证明:
例:在线性空间 中, 是n个线性无关的向量,且每个次数小于n的数域P上的多项式都可被它们线性表出,故 是n维的,而 即为它的一组基,在这组基下,多项式 的坐标即为它的系数
若在V中取另一组基 ,则按照泰勒展开公式 ,故f(x)在基 下的坐标为
例:在n维空间 中,显然 是一组基,对每一向量 都有 ,故 为向量 在这组基下的坐标
也为 的一组基,在这组基下,对向量 有 ,故 在这组基下的坐标为
例:将复数域K看作自身上的线性空间,则它是一维的,数1即为一组基,若看作是实数域上的线性空间,则它是二维的,数1与i即为一组基
注:维数与所考虑的数域有关