微积分基础终极长题目？

Question

如题所述

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Answer 2

求下列微分方程的通解或特解
(1). y'+y=e^(-x);
解：先求齐次方程 y'+y=0的通解。
分离变量：dy/y=-dx；积分之得：lny=-x+lnc₁；故y=c₁e^(-x)；
将c₁换成x的函数u，得 y=ue^(-x)........①；取导数得：y'=u'e^(-x)-ue^(-x)............②
将①②代入原式并化简得：u'e(-x)=e^(-x)，故u'=du/dx=1，∴u=x+c；
代入①式即得原方程的通解为：y=(x+c)e^(-x);
(2). y'+2y=x
解：先求齐次方程 y'+2y=0的通解。
分离变量得：dy/y=-2dx，积分之得：lny=-2x+lnc₁，故齐次方程的通解为：y=c₁e^(-2x);
将c₁换成x的函数u，得 y=ue^(-2x)...........①；取导数得：y'=u'e^(-2x)-2ue^(-2x)...........②
将①②代入原式并化简得：u'e^(-2x)=x；故du=xe^(2x)dx；
积分之得：u=∫xe^(2x)dx=(1/2)∫xd[e^(2x)]=(1/2)[xe^(2x)-∫e^(2x)dx]
=(1/2)[xe^(2x)-(1/2)e^(2x)]}+c=(1/2)[x-(1/2)]e^(2x)+c;
代入①式即得原方程的通解：y={(1/2)[x-(1/2)]e^(2x)+c}e^(-2x)=(1/2)x-(1/4)+ce^(-2x);
(3). y'-y=2xe^(2x)；y(0)=1；
解：先求齐次方程 y'-y=0的通解。
分离变量得：dy/y=dx；积分之得：lny=x+lnc，故齐次方程的通解为：y=c₁e^(x)；
将c₁换成x得的函数u，得 y=ue^(x)..........①；取导数得：y'=u'e^(x)+ue^(x)...........②
将①②代入原式并化简得：u'e^(x)=2xe^(2x)；即有 u'=2xe^(x)；
故u=2∫xe^xdx=2∫xd(e^x)=2(xe^x-∫e^xdx)=2(xe^x-e^x)+c=2(x-1)e^x+c；
代入①式即得原方程的通解为：y=2(x-1)e^(2x)+ce^x；
代入初始条件得：c=3；故满足初始条件的特解为：y=2(x-1)e^(2x)+3e^x；