基础解系首先是线性无关的，简单的理解就是能够用它的线性组合表示出该方程组的任意一组解，基础解系是针对有无数多组解的方程而言，若是奇次线性方程组则应是有效方程组的个数少于未知数的个数，若非奇次则应是系数矩阵的秩大于增广矩阵得秩，基础解系不是唯一的，因个人计算时对自由未知量的取法而异，但不同的基础解系之间必定对应着某种线性关系。
基础解系和通解的关系
对于一个方程组，有无穷多组的解来说，最基础的，不用乘系数的那组方程的解，如123和246及369以及4.8.12......等均符合方程的解，则系数为K，K为1.2.3.4.....等，因此123就为方程组的基础解系。 A是n阶实对称矩阵， 假如r(A)=1.则它的特征值为t1=a11+a22+...+ann,t2=t3=...tn=0；对应于t1的特征向量为b1，t2~tn的分别为b2~bn 此时，Ax=0的解就是k2b2+k3b3+...+knbn；其中ki不全为零。由于:Ax=0Ax=0*B,B为A的特征向量，对应一个特征植的特征向量写成通解的形式是乘上ki并加到一起。这是基础解系和通解的关系。
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参考资料：http://baike.baidu.com/view/2027228.htm?fr=ala0_1