第1个回答 2021-12-05
线性代数中行列式计算总结，觉得难？清北学霸说塞牙缝都不够。我们把线性代数内容划分对应太极拳法的24式，那么我们今天所修炼的就是太极拳的起手式。
(温馨提示：难度逐层递增，不要误以为前面看着简单)
上课
行列式引入
在前面的文章中，我们提到了行列式的历史的发展。从行列式的历史发展中，我们可以知道的是，行列式是从线性方程组求解中发展出来的。为了照顾没有看过前文的同学，我们放一个截图，如下图。开头还有一个没截到的是，1693年，莱布尼茨和日本数学家关孝和。
行列式历史发展
这对我们学习和认识行列式，提供了一个学习的方向。这就是为什么大多课本是从解方程组带我们进入行列式的学习，这些是上课时老师没有告诉你的吧。
我们从简单的二元一次方程组来看。
二元一次方程组
中学时我们只会用消元法来做，在学习行列式以后，我们可以用更快捷的行列式表达式来表示方程组各个变量的解。(很基本的问题，我们就不解了)
行列式基本性质
要想快速掌握行列式的各种计算技巧、各种计算方法。首先，我们需要熟练的掌握并应用行列式的基本性质。
(1)行列式中两行 (列) 互换, 行列式变号.
(2) 行列式的某一行 (列) 乘以常数 c, 则新的行列式是原行列式的 c 倍
(3) 行列式的某一行 (列) 的 k 倍加到另一行 (列), 则行列式不变.
其中，第(2)个式子和第(3)个式子，我们通常通俗的称作为行列式的数乘和行列式倍加性。这是行列式最基本的3条性质。
再者，我们可以利用这3条性质推出行列式的其它性质，如果行列式每一行或每一列的和相等，那么可以利用行列式倍加性质提出这个和。我们还需要知道的是，行列式的可拆分性等等。
行列式的计算
这是我们的重点，在前期准备中，我们也提到了讲述思路，如下图。接下来，我们一个个来讲述
方法总结
(1)定义法
首先，我们要明白逆序数的概念，继而所有的代数和就是行列式的值。(简单的我们就简单带过)
定义法
(2)利用行列式的性质
利用我们上面所提到的行列式性质，将行列式转化为容易计算的上三角行列式或下三角行列式即可。
(3)升阶法(加边法)
当发现行列式拥有大量的共同元素或行（列）成比例时，可考虑使用加边法。
例题
行列式已经通过加边法，再利用行列式的性质将行列式变化为了上三角行列式，到此答案一目了然了。
(4)降阶法
降阶法听着不简单，其实就是普普通通的利用行列式展开，亦或者是利用laplace(拉普拉斯)定理等。怕有些同学不明白，先补一下行列式展开，以3阶行列式为例。
行列式展开
现在看例题
例题
方法1 行列式展开，递推
1
接1
方法2 利用拉普拉斯定理
方法2
注意!注意!请不熟悉拉普拉斯定理的同学，请仔细揣摩拉普拉斯定理的含义，实在不明白可以评论中提出哦。很多时候，拉普拉斯定理可以大大简化我们的计算。
结语
剩余的方法我们留到下次讲述，特别是拆分法，学会拆分法可以拿下线性代数中行列式计算的半壁江山。
还有俗话说，龙生龙，凤生凤 华罗庚的学生会打洞的打洞原理，内容十分精彩，记得持续关注哦。
上课了
想了解更多的数学干货、教育资讯，欢迎关注小木头讲数学。
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在前面的文章中，我们提到了行列式的历史的发展。从行列式的历史发展中，我们可以知道的是，行列式是从线性方程组求解中发展出来的。为了照顾没有看过前文的同学，我们放一个截图，如下图。开头还有一个没截到的是，1693年，莱布尼茨和日本数学家关孝和。
行列式历史发展
这对我们学习和认识行列式，提供了一个学习的方向。这就是为什么大多课本是从解方程组带我们进入行列式的学习，这些是上课时老师没有告诉你的吧。
我们从简单的二元一次方程组来看。
二元一次方程组
中学时我们只会用消元法来做，在学习行列式以后，我们可以用更快捷的行列式表达式来表示方程组各个变量的解。(很基本的问题，我们就不解了)
行列式基本性质
要想快速掌握行列式的各种计算技巧、各种计算方法。首先，我们需要熟练的掌握并应用行列式的基本性质。
(1)行列式中两行 (列) 互换, 行列式变号.
(2) 行列式的某一行 (列) 乘以常数 c, 则新的行列式是原行列式的 c 倍
(3) 行列式的某一行 (列) 的 k 倍加到另一行 (列), 则行列式不变.
其中，第(2)个式子和第(3)个式子，我们通常通俗的称作为行列式的数乘和行列式倍加性。这是行列式最基本的3条性质。
再者，我们可以利用这3条性质推出行列式的其它性质，如果行列式每一行或每一列的和相等，那么可以利用行列式倍加性质提出这个和。我们还需要知道的是，行列式的可拆分性等等。
行列式的计算
这是我们的重点，在前期准备中，我们也提到了讲述思路，如下图。接下来，我们一个个来讲述
方法总结
(1)定义法
首先，我们要明白逆序数的概念，继而所有的代数和就是行列式的值。(简单的我们就简单带过)
定义法
(2)利用行列式的性质
利用我们上面所提到的行列式性质，将行列式转化为容易计算的上三角行列式或下三角行列式即可。
(3)升阶法(加边法)
当发现行列式拥有大量的共同元素或行（列）成比例时，可考虑使用加边法。
例题
行列式已经通过加边法，再利用行列式的性质将行列式变化为了上三角行列式，到此答案一目了然了。
(4)降阶法
降阶法听着不简单，其实就是普普通通的利用行列式展开，亦或者是利用laplace(拉普拉斯)定理等。怕有些同学不明白，先补一下行列式展开，以3阶行列式为例。
行列式展开
现在看例题
例题
方法1 行列式展开，递推
1
接1
方法2 利用拉普拉斯定理
方法2
注意!注意!请不熟悉拉普拉斯定理的同学，请仔细揣摩拉普拉斯定理的含义，实在不明白可以评论中提出哦。很多时候，拉普拉斯定理可以大大简化我们的计算。
结语
剩余的方法我们留到下次讲述，特别是拆分法，学会拆分法可以拿下线性代数中行列式计算的半壁江山。
还有俗话说，龙生龙，凤生凤 华罗庚的学生会打洞的打洞原理，内容十分精彩，记得持续关注哦。
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