六种常见数据降维方法简介及代码实现

Question

如题所述

Answer 1

在处理高维数据时，我们经常面临着稀疏性和计算复杂度的挑战，这就是所谓的“维数灾难”。为了克服这些问题，数据降维技术应运而生，它旨在将复杂的数据空间转化为低维子空间，提升样本密度和计算效率。本文将深入探讨六种常见的数据降维方法：PCA、LDA、MDS、ISOMAP、SNE和T-SNE，以及它们的代码实现。

1. MDS - 多维尺度分析

MDS的目标是保持原始样本间的距离，通过计算距离矩阵、特征值分解等步骤，将数据从高维映射到低维，同时尽可能保持原始距离的近似。

计算流程

首先，设定邻域点，然后计算邻接距离，构建邻域图，通过最小路径算法找到并记录。接下来，利用MDS算法处理这些信息。

```html
计算距离矩阵：
def calculate_distance_matrix(x, y): d = metrics.pairwise_distances(x, y) return d
计算B矩阵：
def cal_B(D): ...
MDS降维：
def MDS(data, n=2): ...
```

2. PCA - 主成分分析

PCA通过对数据进行协方差分析，找出数据的主要方向，将数据投影到这些方向上，减少维度。

```html
def pca(data, n): ...
```
3. LDA - 线性判别分析

LDA通过最大化类别间的差异，同时最小化类别内的差异，来实现降维。具体过程涉及样本均值、协方差矩阵等统计计算，这里仅提供概要。

计算流程省略

4. SNE - Stochastic Neighbor Embedding

SNE是一种非线性降维技术，它通过概率分布的映射，保持邻近数据点的相似性。SNE的关键在于优化高维数据的概率分布，使其在低维空间中保持相似性。

优化过程

优化过程涉及困惑度、σ值选择、初始化策略以及超参数调整，如动量、噪声处理等，以解决SNE中的"crowding problem"。

```html
优化步骤：
def tsne(data, perplexity, max_iter, ...):
```

5. T-SNE - t-Distributed Stochastic Neighbor Embedding

T-SNE是SNE的改进版，通过使用t分布替代高斯分布，解决了SNE的一些局限性，如异常值处理和梯度更新的稳定性。

优化细节

包括t分布的使用、二分搜索选择σ、动量策略和噪声处理等，优化过程包括初始化、概率分布对称化、迭代更新等步骤。

```html
for iter in range(max_iter): ...
```

通过以上方法，我们可以有效地降低数据维度，提高计算效率，同时保留关键信息，为后续的数据分析和可视化提供有力支持。