积分求椭圆面积

椭圆以左焦点为极点的极坐标方程,怎么积分求面积?

第1个回答  2021-01-12
设椭圆的直角坐标方程为:x²/a²+y²/b²=1;以左焦点(-c,0)为极点建立极坐标系,在此极坐
标系里该椭圆的方程为:r=P/(1-ecosθ);其中r为极半径,P为椭圆的焦点参数,即x=-c时的
y值:将x=-c代入椭圆方程得:c²/a²+P²/b²=1,∴P²=b²(1-c²/a²)=b²[(a²-c²)/a²]=(b^4)/a²;
e为椭圆的离心率(0<e<1); ∴P=b²/a;
故椭圆的极坐标方程为:r=b²/[a(1-ecosθ)]=b²/(a-c•cosθ);
∴椭圆面积A=(1/2)∫<0,2π>r²dθ=(1/2)(b^4)∫<0,2π>[1/(a-c•cosθ)²]dθ;
求出此积分,即成。追问

谢谢啦!我的问题就是在最后的积分那里,积分公式里没这个,要变形我办不了.

追答

此积分可以再化简一下:
A=[(b^4)/(2a²)]∫[dθ/(1-ecosθ)²]
即使化简了也不好求,我拿着也没有好办法,抱歉。
椭圆面积A=πab; 如果只是为求椭圆面积,用椭圆参数方程求比较简便。

追问

我就想用极坐标求椭圆中的以左焦点为项角的一个扇形的面积,谢谢啦!

追答

上面就是以左焦点为极点求椭圆面积的过程,问题是最后的积分不好解。

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