如何讲好利用导数判断函数单调性这一课

Question

如题所述

Answer 1

在某个范围内，一阶导数
f'(x)
>
0
，则在该范围内
原函数
f(x)
单调递增
在某个范围内，f'(x)
<
0
，则
单调递减
在某个范围内
f'(x)
=
0，则
恒定。从这个范围考察，该f'(x)=0处，为极值点或极值区域。
例如
f(x)
=
x^3
-
x^2
-
x
+
1
f'(x)
=
3x^2
-2x
-
1
=
(3x
+
1)(x-1)
在
x
>
1
和
x
<
-1/3
时，f'(x)
>0，f(x)
单调递增
而在
-1/3
<
x
<
1
时，
f'(x)
<
0,
f(x)
单调递减
在
x
=
-1/3
和
x=1
处，f'(x)
=
0，为2个极值点。
f(x)
先递增、再递减，再递增。容易判断出，x
=
-1/3
处
是极大值点，x
=1
处
是极小值点。（注意
极值
不是
最值）
另外，还可以根据
二阶导数
来判断
到底是极大值点，还是极小值点（而不是根据函数图象）
若
f'(x)
=
0
，且
f''(x)
>
0
，则
为极小值点
若
f'(x)
=
0,
且
f'(x)
<
0，则为
极大值点。
例如
f(x)
=
x^3
-
x^2
-
x
+
1
f'(x)
=
3x^2
-2x
-
1
f''(x)
=
6x
-2
x
=
-1/3
处，f''(-1/3)
=
-4
<
0，所以是极大
x
=
1
处
,
f''(1)
=
4
>
0，所以是极小。