P(x) = 0.5
事件x发生的概率是50%
随机变量是可以随机的取不同值的变量
一个随机变量是对可能状态的描述，他必须伴随一个概率分布来指定每个状态的可能性
用 Ω 变量表示随机变量状态的可能性
概率质量函数：将随机变量取得的每个状态映射到随机变量取得该状态的概率
直白一点就是接收所有可能随机变量，返回所有随机变量的概率。
如果一个函数P是随机变量x的概率质量函数，那么函数必须满足以下条件
给定一个离散型随机变量x，有k个可能的状态(x_1, x_2, …, x_k)，每个状态的可能性是相同的，即均匀分布(uniform distribution)，则其概率分布为
比如一天的温度值就属于连续型概率分布
概率密度函数
如果一个函数是概率密度函数(Probability Density Function, PDF)，必须满足以下条件
假设一个人的体温是 36-42 的均匀分布
如果随机变量x, y相互独立，联合概率为：P(x=x_i, y=y_i )=P(x=x_i )P(y=y_i )
比如我同时进行抛硬币和投骰子两个事件
x 表示 骰子的点数 P(x=1=2=3=4=5=6) = 1/6
y = 1 表示硬币正面向上，y = 0 表示反面向上 p(y=0=1) = 1/2
联合概率分布表
P(x=1,y=1) = P(x=1)*P(y=1) = 1/6 * 1/2 = 1/12
某一组概率的加和叫做边缘概率
比如我要求骰子数字为1的概率
P(x=1) = P(x=1,y=1) + P(x=1,y=0) = 1/6
练习
双眼皮在人群中占比为 1/3 卷舌在人群中 占 1/4 ，且这两个性状相互独立，现在在人群中随机抽一人，用X表示眼皮性状，Y表示卷舌形状，求X，Y 的联合分布 和X 的边缘分布
在
已经发生的前提条件下
发生的概率为
已知一个人是双眼皮，他是卷舌的概率是
开始我们举得例子里说投骰子和抛硬币是相互独立的，但是我们如何用数学语言证明两件事情是相互独立的？
如果两件事情X,Y 是相互独立的
那么必然满足
以上三个条件满足一个就可以说X 跟Y相互独立
容易混淆的地方
案例
想在有一个测谎机，我如何验证测谎机是否有效？
我可以预先说谎让机器测量，然后检测说谎跟机器的检测结果是否独立，如果独立说明测谎机无效
X = 1 表示说谎 X = 0 表示没说谎
Y = 1 表示机器认为我说谎 Y = 0 表示机器认为我没说谎
如果
P(X=1) = P(X=1|PY=1)
那说明测X 跟Y是相互独立的事件
随机变量X，Y在Z取特定值的条件下独立：
P(X,Y|Z)=P(X|Z)P(Y|Z)
注意区分：
P(X,Y|Z)=P(X)P(Y|Z)
P(X,Y|Z)=P(X|Z)P(Y)
并不是条件独立
抛一枚均匀的硬币，若正面向上，你给我100元；否则我给你50元，你是否愿意接受一次挑战？一百次呢？
我们可以用期望来计算收益的平均值
期望是指是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和
用X 表示收益
那么期望
平局每次会亏25元
对于离散性分布，公式为
对于连续性分布，公式为
比如这里一个人的体温是35-42 之间 p(x)dx 是指某个温度的概率 f(x) 是温度的具体值
案例
投一枚骰子，所得点数的期望值是
已知随机变量X的概率分布：
P(X=1)=1/2, P(X=2)=1/3, P(X=5)=1/6
求E[(X-3)^2]
$$
P(Y=4)=P(X=1)+P(X=5)=1/2+1/6=2/3 \
P(Y=1)=P(X=2)=1/3 \
E[(X-3)^2] = 2/3 * 4 + 1/3*1 = 3
$$
可以直接记住结论
衡量随机变量的离散情况
方差也是一种期望，是随机变量偏离期望程度的期望。
E[x]=μ
V[x]=E[(x-μ)^2]
与期望值一样，方差也是固定值。
方差的另一种计算公式
即 x*2 的期望减去x 期望的平方
证明如下：
协方差用来衡量两个变量的线性相关程度。如果两个变量协方差为0 ，说明他们相互独立
计算公式为
比如同时抛硬币和掷骰子构成一个新的事件。为了方便计算，假设骰子只有1，2，3 三个点
抛硬币事件
投骰子
两个事件的协方差
(x-μ)与(y-ν)符号相同：协方差为正
(x-μ)与(y-ν)符号相反：协方差为负
协方差为正：一方大于期望值，另一方也大于期望值的概率高
伯努利分布(Bernoulli distribution)是单个二值随机变量的分布，由参数p∈[0, 1]控制， p即是随机变量等于1的概率。
问题：
求伯努利分布的期望和方差
二项分布(Binomial distribution)表示“硬币正面向上的概率为p时，抛硬币n次后正面向上的次数”。二项分布是伯努利分布的叠加
记作Bn(n, p)
比如我现在抛七次硬币，单独的一次抛硬币向上的概率为0.6
0词向上的次数的概率为
第一次向上，其余向下的概率为
第二次向上，其余向下概率为
...
1 次向上的概率为
2次向上的概率？
第一次，第二次向上，其余向下的概率
第一次，第三次向上，。。
...
第一次向上，其余次数种有一次向上的概率
第一次向上，其余次数有一种向上出现次数是6次
第一次向下，第二次向上，后面次数出现一次向上对应 5次
一共次数为
3次向上概率？
还是刚才那样，只需要关注可能的次数即可
现在要把 3个1 ，4个0 分配到七个括号里，一共会有多少种情况？
首先我把第一个1 分配到一个括号里
然后再把剩下的一个1 分配到剩下的六个括号种，一共有6种可能，但是此时会产生重复情况
比如我把第一个1 放到了 1号，把第二个1 放到了2号
跟我把第一个1 放到了2号，第二个1 放到了1 号，这两种起始是一种情况
这六七四十二种情况其实事把 两个 相同的1 作为不同的数字又给排列组合扩展过的，把 1，1 的排列组合衍生为1
1_1 1_2 , 1_2, 1_1 两种情况 扩大了 2 * 1 倍
然后我再把第三个一号放入剩下的括号里 ，一共 5种可能，但是还会有重复的，比如针对前三次都是一这种情况，可以是
因此出现3次向上的概率为
同样扩展到 抛n 次硬币 k次朝上的概率
最后二项分布概率函数总结为
二项分布是n个相同的伯努利分布叠加
期望计算公式为
以为每个伯努利分布都是独立的,相互独立的事件方差可以线性相加
方差计算公式
直接看图吧，这个没啥好解释的
标准正态公式:期望为 0 方差为1