数学学院2010级研究生《数学模型方法》试题
说明：以下共六道建模题，1）、2）两题可任选一题，5）、6）两题可任选一题，3）、4）题必做，请同学们每人独立完成四道题，严禁雷同。
1． 在大洋上航行的一只游船上有800人，一名游客患了某种传染病，12小时后有3人发病。由于这种传染病没有早期症状，故感染者不能被及时隔离。直升机将在60至72小时运来疫苗。
试估算疫苗运到时患此传染病的人数。
试推算传染病高潮到来的时刻。
若初始时刻的患病人数为 即 ,应如何修正你的模型。
3. 设备更新问题：企业使用一台设备，每年年初，企业领导就要确定是购置新的，还是继续使用旧的。若购置新设备，就要支付一定的购置费用，已知该种设备在每年年初的价格如表 所示；若继续使用，则需支付一定的维修费用，使用不同时间设备所需维修费如表1所示。现要制定一个五年之内的设备更新计划，使得五年内的总的支付
费用最少。
表1 设备在每年年初的价格
第一年 第二年 第三年 第四年 第五年
11 11 12 12 13
表 使用不同时间设备所需维修费
使用年限 0~1 1~2 2~3 3~4 4~5
维修费 5 6 8 11 18
4. 某电力公司经营两座发电站，发电站分别位于两个水库上，位置如下图所示。
水源A－》水库A－》发电站A－》水源B－》水库B－》发电站B
已知发电站可以将水库A的1万 的水转换为400千度电能，发电站B只能将水库B的1万 的水转换为200千度电能。发电站A，B每个月的最大发电能力分别是60000千度，35000千度。每个月最多有50000千度电能以200元/千度的价格出售，多余的电能只能够以140元/千度的价格出售。水库A，B的其他有关数据如下（单位：万立方米）
水库A 水库B
水库最大蓄水量 2000 1500
水源流入水量 本月 200 40
下月 130 15
水库最小蓄水量 1200 800
水库目前蓄水量 1900 850
请你为该电力公司制订本月和下月的生产经营计划。（千度是非国际单位制单位，1千度= 千瓦时）。
6. 下表给出了某工厂产品的生产批量与单位成本(元)的数据，从散点图可以明显地发现，生产批量在500以内时，单位成本对生产批量服从一种线性关系，生产批量超过500时服从另一种线性关系，此时单位成本明显下降。希望你构造一个合适的回归模型全面地描述生产批量与单位成本的关系。
生产批量 650 340 400 800 300 600 720 480 440 540 750
单位成本 2.48 4.45 4.52 1.38 4.65 2.96 2.18 4.04 4.20 3.10 1.50