第一步,分母因式分解。
肉眼看出分母的一个根是z=3,因此可以利用长除法(除以z-3)得到另一个二次的因式,接下来对这个二次因式进行因式分解,将分母化为(z-3)(1+z^2)=(z-3)(z-i)(z+i)。因为是在z=0点展开(默认展开点为圆环中心),根据分母因式分解的结果,决定采用第一种分解方式。【这种分解方式的优越性在下面的求解过程中会体现出来。】
要是肉眼看不出来的话,可以利用在线的计算器求出分母的三个根,也可以利用软件,或者直接利用三次方程的求根公式求解。
第二步,拆分成单因式的分式之和
可以采用待定系数法或者特殊值法,需要过程的话可以进一步追问。这里为了简便,在线计算函数的不定积分,对结果进行求导就完成了第一步和第二步:
所以f(z)=2/(z-3)-1/(1+z^2)。
第三步,展开点已经确定,下面根据所在的圆环域分别按照几何级数公式配凑、展开成洛朗级数:
①1<|z|<3:
接下来自己化简就行
②|z|>3:
同样,继续化简。
可以看到,两个圆环域展开结果的区别在第一项,这一区别体现了配凑时的原则,即几何级数的收敛条件是公比的模小于1.