数学难题 快 是北京市东城区2000年数学中考24题

Question

已知：如图6，AB、AC、ED分别切⊙O于点B、C、D，且AC⊥DE于E，BC的延长线交直线DE于点F．若BC=24，sin∠F=3/5．

（1）求EF的长；
（2）试判断直线AB与CD是否平行．若平行，给出证明；若不平行，说明理由．
25．（本小题满分9分）
如图7，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-3，0）、（0，3）．

Answer 1

（1）EF＝20．
由sin∠F=3/5 ，
设CE＝3x．
CF＝5x，
∴ EF＝4x，
ED＝EC＝3x，
∵FD^2=FC*FB ，
∴(7x)^2=5x*(5x+24) ，
x＝5，
EF＝4x＝20；
（2）AB与CD不平行．
连结BD，
△BDF∽△DCF．
∴BD/DC=DF/CF ．
可得
CF＝25，
DF＝35，
DC= 15根号2．
∴BD= 21根号2．
∵BD≠BC，
∴∠BDC≠∠BCD≠∠ABC，
∴ AB与CD不平行．

1、因为sinF=3/5，那么，设CE=3x，有：CF=5x，EF=4x，ED=3x。
根据切割线定理：DF^2=CF*BF
那么：（4x+3x)^2=5x(5x+24)
解得x=5。
那么，EF=5*4=20。
2、很明显，△ECD是等腰直角三角形。
∠ECD=45°。如果AB‖CD，那么，∠A=45°，那∠B=∠ACB=67.5°=∠ECF。
∠F=22.5°。那么，在EA上取一点G，使∠EFG=45°，那么，CF就是∠GFE的平分线。于是：GE=EF=20，EC=15，GC=5，GF=20√2。
GF：GC=EF：EC
把数字代入，明显不等。所以，AB不平行于CD。
根据万能公式:sinx=2tg(x/2)/(1+tg(x/2)^2),cosx=(1-tg(x/2)^2)/(1+tg(x/2)^2)
二倍角公式:
sin2x=2sinx*cosx
cos2x=2cosx^2-1=1-2*sinx^2=cosx^2-sinx^2
tg2x=2tgx/(1-tgx^2)

sin∠F=2tg(∠F/2)/(1+tg(∠F/2)^2)=3/5
tg(∠F/2)=3(舍去)或1/3
tg(∠F/2)=OB/BF=R/BF=1/3,BF=3R
在直角三角形AEF中,sin∠F=cos∠A=3/5
根据万能公式同理可求出
tg(∠A/2)=1/2或-1/2(舍去),sin(∠A/2)=1/根号5
即tg(∠A/2)=OB/BA=R/BA=1/2,BA=2R
sin(∠A/2)=(BC/2)/AB=12/2R=1/根号5
所以R=6倍根号5
△ECD为等腰直角三角形,则OCED为正方形.DE=R
FE=FD+ED=FB+ED=3R+R=4R=24根号5

AB与CD不平行
△ECD为等腰直角三角形,所以∠ECD=45度,而∠A不等于45度,所以CD不平行于AB

Answer 2

（1）EF＝20．
由sin∠F=3/5 ，
设CE＝3x．
CF＝5x，
∴ EF＝4x，
ED＝EC＝3x，
∵FD^2=FC*FB ，
∴(7x)^2=5x*(5x+24) ，
x＝5，
EF＝4x＝20；
（2）AB与CD不平行．
连结BD，
△BDF∽△DCF．
∴BD/DC=DF/CF ．
可得
CF＝25，
DF＝35，
DC= 15根号2．
∴BD= 21根号2．
∵BD≠BC，
∴∠BDC≠∠BCD≠∠ABC，
∴ AB与CD不平行．本回答被提问者采纳

Answer 3

）EF＝20．
由sin∠F=3/5 ，
设CE＝3x．
CF＝5x，
∴ EF＝4x，
ED＝EC＝3x，
∵FD^2=FC*FB ，
∴(7x)^2=5x*(5x+24) ，
x＝5，
EF＝4x＝20；
（2）AB与CD不平行．
连结BD，
△BDF∽△DCF．
∴BD/DC=DF/CF ．
可得
CF＝25，
DF＝35，
DC= 15根号2．
∴BD= 21根号2．
∵BD≠BC，
∴∠BDC≠∠BCD≠∠ABC，
∴ AB与CD不平行．
回答者： qsmm - 大学士 十六级 4-17 20:50

1、因为sinF=3/5，那么，设CE=3x，有：CF=5x，EF=4x，ED=3x。
根据切割线定理：DF^2=CF*BF
那么：（4x+3x)^2=5x(5x+24)
解得x=5。
那么，EF=5*4=20。
2、很明显，△ECD是等腰直角三角形。
∠ECD=45°。如果AB‖CD，那么，∠A=45°，那∠B=∠ACB=67.5°=∠ECF。
∠F=22.5°。那么，在EA上取一点G，使∠EFG=45°，那么，CF就是∠GFE的平分线。于是：GE=EF=20，EC=15，GC=5，GF=20√2。
GF：GC=EF：EC
把数字代入，明显不等。所以，AB不平行于CD。
回答者：bieguanme - 江湖少侠 六级 4-17 21:33

Answer 4

根据万能公式:sinx=2tg(x/2)/(1+tg(x/2)^2),cosx=(1-tg(x/2)^2)/(1+tg(x/2)^2)
二倍角公式:
sin2x=2sinx*cosx
cos2x=2cosx^2-1=1-2*sinx^2=cosx^2-sinx^2
tg2x=2tgx/(1-tgx^2)

sin∠F=2tg(∠F/2)/(1+tg(∠F/2)^2)=3/5
tg(∠F/2)=3(舍去)或1/3
tg(∠F/2)=OB/BF=R/BF=1/3,BF=3R
在直角三角形AEF中,sin∠F=cos∠A=3/5
根据万能公式同理可求出
tg(∠A/2)=1/2或-1/2(舍去),sin(∠A/2)=1/根号5
即tg(∠A/2)=OB/BA=R/BA=1/2,BA=2R
sin(∠A/2)=(BC/2)/AB=12/2R=1/根号5
所以R=6倍根号5
△ECD为等腰直角三角形,则OCED为正方形.DE=R
FE=FD+ED=FB+ED=3R+R=4R=24根号5

AB与CD不平行
△ECD为等腰直角三角形,所以∠ECD=45度,而∠A不等于45度,所以CD不平行于AB

Answer 5

1、因为sinF=3/5，那么，设CE=3x，有：CF=5x，EF=4x，ED=3x。
根据切割线定理：DF^2=CF*BF
那么：（4x+3x)^2=5x(5x+24)
解得x=5。
那么，EF=5*4=20。
2、很明显，△ECD是等腰直角三角形。
∠ECD=45°。如果AB‖CD，那么，∠A=45°，那∠B=∠ACB=67.5°=∠ECF。
∠F=22.5°。那么，在EA上取一点G，使∠EFG=45°，那么，CF就是∠GFE的平分线。于是：GE=EF=20，EC=15，GC=5，GF=20√2。
GF：GC=EF：EC
把数字代入，明显不等。所以，AB不平行于CD。