如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=45°，AB=42，AD=7，BC=14．动点E从点B出发，沿B-C方向以2cm/s的速度

Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=45°，AB=42，AD=7，BC=14．动点E从点B出发，沿B-C方向以2cm/s的速度运动，同时动点F从点C出发，沿C-D-A以2cm/s的速度运动，过点E作MEBC，与折线B-A-D相交于点M，当点M与点D重合时，两个动点都停止运动．设点E、F运动的时间为t秒（t＞0），由点B、M、E、F组成的四边形的面积为S．（1）求线段CD的长；（2）是否存在合适的t，使得△EFM是等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出对应的t的值；（3）直接写出S与t的函数关系式及相应的t的取值范围．

Answer 1

（1）如图1，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∴∠AEB=∠AEF=∠DFC=∠DFE=90°．
∵∠ABC=45°，
∴∠BAE=45°，
∴∠ABC=∠BAE，
∴AE=BE．
在Rt△ABE中，AB=4

2

，由勾股定理，得
BE=AE=4．
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=90°．
∴∠AEF=∠EAD=∠DFE=90°，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AD=EF，AE=DF，
∴DF=4．
∵AD=7，
∴EF=7．
∵BC=14，
∴CF=14-7-4=3
在Rt△DFC中勾股定理，得
CD=5；
答：CD的长为5；
（2）∵∠AEB=∠DFC=90°，
∴tan∠B=

AE

BE

＝1，sin∠C=

DF

CD

＝

4

5

，cos∠C=

3

5

．
如图2，当MF=EF时，作FH⊥EM于H，FG⊥BC于G，
∴∠FHE=∠FGE=90°，∠MEC=90，
∴四边形HEGF是矩形，
∴HE=GF．
∵EH=

1

2

EM=

1

2

BE=t，GF=

8

5

t，
∴t=

8

5

t，
∴t=0（舍去）．
如图3，当MF=ME时，作AG⊥BC交BC于G，
∴AM=2t-4．
∵FD=2t-5，
∴MF=7-（2t-4）-（2t-5）=16-4t，
∴16-4t=4，
∴t=3；
如图4，当MF=ME时，作AG⊥BC交BC于G，
∴AM=2t-4．
∵AF=12-2t，
∴MF=AM-AF=2t-4-（12-2t）=4t-16，
∴4t-16=4，
∴t=5．
∴t=3或t=4时，△EFM是等腰三角形；
（3）如图5，当0＜t≤2时，作FG⊥BC于G，
∴∠FGC=90°，
∴FG=

8

5

t．CG=

6

5

t．
∵BE=EM=2t，
∴EG=14-2t-

6

5

t=14-

16

5

t．
∴S=

2t×2t

2

+

2t(14? 16 5 t)

2

=2t²+14t-

16

5

t²=-

6

5

t²+14t；
如图6，当2＜t≤2.5时，作FG⊥BC于G，
S=

4×2t

2

+

4(14? 16 5 t)

2

=28-

12

5

t；