一到高三数学题 已知函数f(x)=1/2x^2-mlnx+(m-1)x，m属于R

Question

1，当m=2时，求f(x)的最小值
2，当m<=0时，讨论f(x)函数的单调性
3，求证：当m=-1时，对任意x1,x2属于（0，正无穷）且x1不等于x2，有f(x2)-f(x1)/(x2-x1)>-1

谢谢大家，请大家快一点！！

Answer 1

解：（Ⅰ）显然函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
当m=2时，f'（x）=x2+x-2x．
∴当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0．
∴f（x）在x=1时取得最小值，其最小值为f（1）=3/2．（4分）

（Ⅱ）∵f'（x）=x-mx+（m-1）=x2+(m-1)x-mx=(x-1)(x+m)x，
∴（1）当-1＜m≤0时，若x∈（0，-m）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（-m，1）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．
（2）当m≤-1时，x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（1，-m）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（-m，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．（9分）

（Ⅲ）当m=-1时，函数f（x）=1/2x2+lnx-2x．
构造辅助函数g（x）=f（x）+x，并求导得
g'（x）=x+1x-1=x2-x+1x=(x-
12)2+
34x．
∴g'（x）＞0，g（x）为增函数．
∴对任意0＜x1＜x2，都有g（x1）＜g（x2）成立，
即f（x1）+x1＜f（x2）+x2．
即f（x1）-f（x2）＞x1-x2．
又∵x1-x2＜0，
∴f(x2)-f(x1)x2-x1＞-1．（14分）

Answer 2

1。f（x)的定义域是{x| x>0}
m=2,则f(x)=1/2 x^2-2lnx+x
f'(x)=x-2/x+1 则x>1,f'(x)>0; 0<x<1,f'(x)<0
当x=1时，f(x)的最小值是f(1)=3/2
2.f'(x)=x-m/x+m-1=(x+m)(x-1)/x
当m>=-1时，0<x<-m 增 -m<x<1 减 x>1 增
当m<=-1 时，0<x<1 增 1<x<-m 减 x>-m 增
3.m=-1 f(x)=1/2 x^2+lnx-2x
f'(x)=x+1/x-2>0 f(x)是增函数。f(x2)-f(x1)/x2-x1 >0>-1