求函数y=(x-3)x^2的单调区间和极值

Question

如题所述

Answer 1

求函数y=(x-3)x^2的单调区间和极值

f(x)=y=(x-3)x²=x³-3x²
f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)
驻点x₁=0 x₂=2
f''(x)=6x-6
f''(0)=-6<0
f''(2)=6>0
∴f(0)=0是极大值，f(2)=-4是极小值
∴x∈(-∞,0)∪(2,+∞) 为单调递增区间
x∈(0,2) 为单调递减区间。

求函数f（x）=（x-3）e^x的单调区间和极值

f'=(1-x+3)e^x=(4-x)e^x
令 f'=0 得 x=4
x (-∞, 4) 4 (4,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) 增 极大e^4 减
∴f(x) 在 (-∞, 4) 递增， 在 (4,+∞)递减，在x=4取得极大值e^4.

求函数y=3x-x^2的单调区间和极值

此函数是抛物线，开口向下；
对称轴x=3/2，即当x=3/2时函数y有极小值，y=3*(3/2)-(3/2)²=-9/4；
(-∞,3/2]，函数单调增加；[3/2,+∞)，函数单调减小；

求函数f(x)=(x+1)^4 (x-3)^3 单调区间和极值

f'(x)=4(x+1)^3(x-3)^3+3(x+1)^4(x-3)^2=(x+1)^3(x-3)^2[4x-12+3x+3]=(x+1)^3(x-3)^2(7x-9)
由f'(x)=0,得x=-1, 3, 9/7
x=3在左右邻域，f'(x)不变号，因此x=3不是极值点；
x=-1为极大值点，x=9/7为极小值点；
单调增区间：x<-1或x>9/7
单调减区间：-1<x<9/7
极大值f(-1)=0
极小值f(9/7)=-16^4*12^3/7^7

求函数y=(1/3)x^3 - x^2 + 2 的单调区间和极值

y=(1/3)x³ - x² + 2
y ′ = x² -2x = x(x-2)
x＜0或x＞2时单调增
0＜x＜2时单调减
极大值f(0)=0-0+2=2
极小值f(2)=1/3*8-4+2 = 2/3

求函数y=x^2lnx的单调区间和极值

由题意可知函数的定义域为：（0，+∞）
又f′（x）=2x•lnx+x2•1/x==2x•lnx+x，
由f′（x）≤0知，2x•lnx+x≤0。
∴0≤x≤e^(-1/2)
又因为x＞0，所以函数的递减区间是（0, e^(-1/2)),函数的单调增区间为( e^(-1/2),+∞）。
函数在x=e^(-1/2)时函数取得极小值：y极小=f[e^(-1/2)]=-1/2e.

求函数y=x ³ -6x 2的单调区间和极值

y=x³-6x+2
y ′ = 3x²-6 = 3(x+√2)(x-√2)
单调增区间：（-∞，-√2），（√2，+∞）
单调减区间：（-√2，√2）
极大值f(-√2) = -2√2+6√2+2 = 4√2+2
极小值f(√2) = 2√2-6√2+2 = -4√2+2

求函数y=x^2-2x+4的单调区间和极值

y=x^2-2x+4
=（x-1)^2+3
所以在(-无穷，1]上，单调递减
在(1，+无穷)上，单调递增
当x=1时，有极小值3

求函数y=x^3-3x^2-9x-2的单调区间和极值

先对y求一次导，得x??-2x-3，令x??-2x-3=（x-3）（x+1）=0得x1=-1，x2=3；x属于（-∞，-1） 时，y的一阶导为“+”，x属于（-1,3） 时，y的一阶导为“—”，x属于（3，+∞） 时，y的一阶导为“+”。
故有，y在x=-1时取得极大值，极大值为y（-1）=﹣1－3＋9－2＝3；y在x=3取得极小值，极小值为y（3）=﹣29。
单调区间：增区间：（-∞，-1）∪（3，+∞） ；减区间：（-1,3）

求函数：y=e^(2x)-e^(-2x)的单调区间和极值？

y'=2e^(2x)+2e^(-2x)恒正，单调增，无极值