二维平面中看一个例子，如图2-1， 是平面直角坐标系中的两点，其坐标分别为 , 。
问题： 两点的距离是多少？也就是要我们求线段 的长度 。
上述问题的解决如下：
作 ，设 在 轴上的投影为 ， 在 轴上的投影为 ,如图2-2：
易知 是直角三角形， .那么根据勾股定理，有：
(2.1)
容易观察:
的横坐标分别与 的横坐标相同，为 ;
的纵坐标分别与 的纵坐标相同，为 。
根据一维坐标两点的距离公式，有：
以上两式代入(2.1)式，即得：
因为 ，上式开方即得：
以上就是平面直角坐标系两点之间的距离公式，描述为：
定理2.1 平面直角坐标系中， 两点的坐标为 ，那么
(2.2)
在几何中，有一个号称公理的命题：两点之间的连线，线段最短。实际上，这个命题可以用代数表示为 三角不等式 ，如下：
定理2.2(三角不等式) 在平面中，任意三点 满足如下不等式：
（2.3）
上式等号成立当且仅当 在线段 上(包含端点)。
为了证明定理2.2，我们先证明如下定理：
定理2.3(三角不等式的代数形式) ，如下不等式成立：
(2.4)
上式等号成立当且仅当存在 ，使：
(2.5)
(2.6)
证明 令
以上换元把原不等式变为：
(2.7)
于是问题变为证明不等式(2.7)。
因为
(2.8)
对于任意的 成立，所以：
两边分解因式得：
(2.9)
开方(左边取负)，再乘以2得：
(2.10)
两边同时加上 得：
套用完全平方式得：
两边开方，取正值，得不等式(2.7)，从而证明了不等式(2.4)
以上过程中，通过(2.8)、（2.10）知道，不等式成立的充要条件为：
用 还原上式 ，得：
(2.11)
(2.12)
由(2.11)知，存在 ，使：
整理得：
代入式(2.12)，并分解因式得：
因 ，所以：
解得： ，这就证明了等号成立的条件(2.5)、(2.6)。
从而证明了定理2.3。
定理2.2的证明 令 的坐标分别为 ，代入两点的距离公式，并使用定理2.3，便能得到定理2.2。
公理2.4(度量空间) 是集合，且对 中任意两个元素 ，我们定义实函数 ，如果 满足如下三个条件：
那么称 为 度量空间 ， 为 度量函数 ， 为两点 的 距离 或 度量 。在不引起混淆的情况下，可以直接称"度量空间 "。
公理2.4的三个条件，是对距离概念的抽象定义。基于此，我们可以证明如下定理：
定理2.5 距离函数 定义为：
，
那么 是度量空间。
证明 容易验证，函数 满足公理2.4条件1、2；同时，根据定理2.3，函数 也满足公理2.4条件3。所以， 是度量空间。
例2.6
(1)定义函数 为：对于所有的 有 ，那么 是度量空间。
(2)设 为非空集合，对于任意的 ，有
那么 是度量空间。
证明 (1) 容易验证，函数 满足非负性与对称性。
根据绝对值不等式，对于任意的三个实数 有：
即
所以， 满足度量公理的三角不等式.
综上所述，命题成立。
(2)非负性： 若 ,那么 ；
对称性：根据定义， 恒成立；
三角不等式：取三个值 ，讨论如下：
若 ，那么 ；
若 ，那么 ， 必有一个不等于 ，不妨设 ，那么 。
以上讨论说明三角不等式对于 的任意的三个元素都成立。
综上所述，命题成立。