课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版,刘树棠译。
视频课可以在网易公开课看到,搜索MIT的信号与系统,老师就是课本的作者。
p.133 - p.147
p.150 - p.152
p.155 - p.159
p.227 - p.236
首先我们证明复指数信号 是LTI系统的特征函数,假设LTI系统的单位脉冲响应为 ,输入 ,那么输出可以通过卷积和得到,
令 ,那么
得证 是离散LTI系统的特征函数, 是特征值。
在傅里叶分析中,只考虑 的情况,也即 ,因此仅考虑 形式的复函数。
回忆第一章学习离散时间周期信号时,一个与连续时间周期信号非常重要的不同点,就是成谐波关系的周期信号只有 个,因为在频率上相差 的整数倍的离散时间复指数信号是一模一样的!那么这就意味着离散时间周期信号的傅里叶级数是一个 有限项级数 。
定义一个离散时间周期信号 ,
基波周期为使上式成立的最小正整数 ,基波频率 。傅里叶分析中我们使用复指数函数 就是一个典型的离散时间周期信号。下面这个式子定义了一组成谐波关系的复指数信号,它们都是周期的,其基波频率都是 的倍数,
因为对于谐波函数来说,频率相差 的整数倍时,两函数相等,具体来说就是谐波函数只有 个,
我们希望利用 的线性组合来表示一个更为一般的周期信号 ,即
注意上面求和中,求和限为 , 可以从0到 ,也可以1到 ,也可以其他任意 个连续整数。
对于复指数 这样一个周期信号,在一个周期内对自变量 求和,
仔细观察上面的求和式,当 时, 为一个常数1,这时对 求和结果就是 ;而当 取其他值时, 是一个周期信号,周期为 ,那么在周期内对 求和结果为0。
基于以上推导,我们现在来想办法求傅里叶级数系数 。将 的傅里叶级数表达式重写在下面,
首先,左右两边同时乘以 ,
再对自变量 在 内求和,
交换上式等号右边的求和顺序可得,
想不明白上面求和顺序变换的话,可以笨办法展开求和,发现求和顺序变化不影响求和结果。我的理解是求一个 行 列的矩阵元素的和,你可以横着求和也可以竖着求和;又或者说在程序里用for循环求二阶矩阵的和,可以for i包含for j,也可以for j包含for i,这个求和顺序不会影响求和结果。
回到上面的等式,等号右边有一个求和
当 时(或者说相差 的整数倍,我这里就简单点不严谨一下),这个求和结果等于 ;如果 ,这个求和结果为0。
那么可以写出下面这个式子,
这样离散时间周期信号傅里叶级数系数就求出来了,
回想连续时间周期信号傅里叶级数系数的求解,和这里思路一模一样,都是利用了直流为0的周期信号在周期内求和结果等于0的性质。
此外,除了 的傅里叶级数表达是一个有限项级数,与连续时间不同的是,因为
所以,
也就是说, 的值是以 为周期重复的。
由于 的傅里叶级数表达是一个有限项级数,因此离散时间周期信号的傅里叶级数不存在收敛问题,也不存在吉布斯现象。
上面的求和就是 周期卷积 。
这篇笔记一开始,我们定义了 ,
其中 是LTI系统的单位脉冲响应。 被称作 系统函数 ,将 局限在 形式的系统函数被称为系统的 频率响应 ,
令LTI系统输入 为一个周期信号,其傅里叶级数表示为,
输出就是,
考虑某一序列 ,具有有限持续期,也就是说对于整数 和 ,在 的范围之外, 。由这个非周期信号可以构成一个周期序列 ,使得对 来说, 是它的一个周期。随着 的周期 增大, 就在更长的时间间隔内与 相等,而当 时, 。
写出周期信号 的傅里叶级数表达,
因为在 区间内, ,所以 可以写作,
又因为在 区间外,有 ,所以
现定义函数
那么
其中 表示频域中的样本间隔。将 代回到 的傅里叶级数综合公式中,
又因为 ,
随着 ,上式中的求和演变为一个积分,积分宽度为 ,因为求和是对 个宽为 的间隔内完成的,所以积分宽度为 。
上式就是离散时间傅里叶变换。
在离散时间中,由于频率相差 的复指数信号是完全一样的 ,所以
如果 是绝对可积的,即
或者信号 的能量是有限的,即
那么 的傅里叶变换 就是收敛的。
对于综合公式,因为积分区间是有限的,因此一般不存在收敛问题,而且也不会有吉布斯现象。
与连续时间相同,利用把一个周期信号的变换表示成频域中的冲激串的办法,就可以把离散时间周期信号也划入到傅里叶变换的框架中。考虑如下信号,
我们在学习连续时间周期信号傅里叶变换时,知道 的傅里叶变换就是一个发生在 处的冲激。于是我们期望在离散时间中也会有相同结果。然而离散时间傅里叶变换对 来说必须是周期的,周期为 ,那么 的傅里叶变换应该就是发生在 、 、 等处的冲激,即
为了验证上式,求 的傅里叶逆变换,
注意看,这里积分区间为 ,因此整个积分区间内只会有一个冲激,假设积分区间内的冲激发生在 ,那么
这就证明了
现在我们考虑一个周期序列 ,周期为 ,其傅里叶级数为
那么我们就可以写出 的傅里叶变换