第1个回答 2021-03-16
|a|的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离；|a－b|的几何意义是：数轴上表示数a、b的两点的距离．对于某些问题用绝对值的几何意义来解，直观简捷，事半功倍．
一、绝对值之和求最小值
题型一 两个绝对值相加求最小值【方法分析】
【总结归纳】
绝对值的最值问题多以选填题的形式考察，上述绝对值几何意义的方法能迅速求解，但此法不能作为大题的解题步骤，所以一旦要求写大题步骤，只能使用零点分段法化简，分别求出每一段的取值范围，最后得到最值．
题型二 多个绝对值相加求最小值
二、绝对值之差求最值
【方法分析】
至于当x满足什么条件时分别取最大、最小值．则可以画数轴分析或把绝对值展开计算．
绝对值有两个意义：
（1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。即|a|＝a（当a≥0） , |a|＝－a （当a＜0）
（2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。
灵活应用绝对值的基本性质：
（1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0)（4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|；
点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a－b|，利用绝对值的距离公式找最小值，是考试中的一个难点。现在跟随老师的脚步，从特色到一般出发，一起探究做此题的套路吧，这一类题就都可以解决啦！
【问题提出】|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2019|最小值是多少？
【阅读理解】
为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．|a|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离．那么|a﹣1|可以看做a这个数在数轴上对应的点到1的距离；|a﹣1|+|a﹣2|就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究|a﹣1|+|a﹣2|的最小值．
我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示：
（1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．
（2）如图②，a在1和2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1．
（3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．
【问题解决】
（1）|a﹣2|+|a﹣5|的几何意义是______．请你结合数轴探究：|a﹣2|+|a﹣5|的最小值是_____．
（2）|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的几何意义是_____．请你结合数轴探究：|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是 ______，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a为 ______．
（3）求出|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+|a﹣4|+|a﹣5|的最小值．
（4）求出|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2019|的最小值．