高数 当x大于0小于1时 证明1/ ln2 -1<1/ln(1+x) -1/x <1/2

Question

如题所述

Answer 1

解析：
x∈(0,1)时，
设f(x)=ln(1+x)-x, 则f'(x)=1/(1+x)-1=-x/(1+x)<0，f(x)单调递减。
x→1时，f(x)→ln2-1<0, 则ln(1+x)>x>0
0<1/ln(1+x)<1/x
设F(x)=1/ln(1+x)-1/x, 则F(x)单调递增，
x→0时，F(x)=[x-ln(1+x)]/xln(1+x)→[1-1/(1+x)]/[ln(1+x)+x/(1+x)]
=x/[(1+x)ln(1+x)+x]→1/[ln(1+x)+1+1]→1/2
x→1时, F(x)→1/ln2-1
所以x∈(0,1)时，1/ln2-1＜1/ln(1+x)-1/x＜1/2追问

X趋向1时，f(x)只是大于一个小于0的数（ln2-1)不能说大于0吧

X取0的到最大值才为0

错答案，心急了

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示