对指数函数求导
注：其实任何满足微分方程 的解都必为形式 ，其中 为任意常数
泰勒级数展开
由上可知，函数 存在任意阶的导数。将其在点 处进行泰勒展开，有
取Peano形式的余项 (参见泰勒公式词条)
令上式 ，有
故有
即得
由此就可根据上式求解出 的具体数值
限制精度
但是在应用中我们需要的是 的具有某位精度的数值，比如说要求 的小数点前2000位的准确数值。此时Peano余项不够用了。我们换一个余项，例如——Lagrange余项：
其中 。将 与 代入，得
所以
故只要令 ，求解出满足这个不等式的任意一个 ，然后按照这个 计算
便得 的小数点后2000位的准确数值
数值
小数点后30000位
Program : PiFast version 4.3 (fix 1), by Xavier Gourdon
Computation of 30000 digits of E
Method used : series SUM 1/n!
Size of FFT : 4 K
Physical memory used : ~ 780 K
Disk memory used : ~ 0.00 Meg
------------------------------------------------------------
Computation run information :
Start : Thu Aug 07 15:23:54 2014
End : Thu Aug 07 15:23:54 2014
Duration : 0.05 seconds
============================================================
Total computation time : 0.05 seconds (~ 0.00 hours)
============================================================
E with 30000 digits :
E ≈ 2.7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 : 50
9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 : 100
2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 : 150
5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 : 200
1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 : 250
8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 : 300
5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 : 350
6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 : 400
9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 : 450
7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 : 500
7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825 : 550
2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 : 600
3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 : 650
5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 : 700
9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 : 750
8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 : 800
8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 : 850
4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016 : 900
7683964243 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 : 950
0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 9570350354 : 1000
