矩阵的幂运算 已知A=m 1 0;0 m 1;0 0 m;求A^n(该矩阵是按1到3行的顺序写的)

Question

如题所述

Answer 1

A=
m 1 0
0 m 1
0 0 m
这是一个特征值为m的二解JONDAN块,A的n次方很好算的.将A分解成：
m 0 0
0 m 0
0 0 m
+
0 1 0
0 0 1
0 0 0
=(B+C)
于是A^n=（B+C）^n,注意此处BC=CB,是可交换的,所以用二项式定理展开就行了,可以看到C的2次方以上都是0,所以最后结果没几项的.
最后A^n=(B+C)^n
=B^n+nB^(n-1)C+[n(n-1)/2]B^(n-2)C^2
=
m^n n*[m^(n-1)] [n(n-1)/2]*m^(n-2)
0 m^n n*[m^(n-1)]
0 0 m^n