高数——泰勒级数和傅里叶级数

Question

如题所述

Answer 1

泰勒级数： 就是用无穷级数去逼近一个光滑函数。当 时，就转变为麦克劳林公式。

拉格朗日余项：n+1阶项；皮亚诺余项：

泰勒公式和拉格朗日中值定理的关系：拉格朗日中值定理是n=0时的泰勒公式（带拉格朗日余项）。

泰勒公式的应用：①可以把复杂函数拆分为多项式的近似函数，便于用计算机求解；②用来推导欧拉公式（把 展开，令 ,比较sinx和cosx的展开式）。

傅里叶级数：任何周期函数都可以用 正弦函数 和 余弦函数 构成的无穷级数来表示。

泰勒级数与傅里叶级数的关系：傅里叶级数以三角函数为基底，基有正交性；泰勒级数以幂函数为基底，没有正交性。（正交性：任意两个不同函数的乘积在[-π,π]上的积分值为0.）