请问谁知道托勒密不等式的完整证明？

Question

希望能给出完整的证明。

Answer 1

证明

在四边形ABCD中,连接AC,作角ABE=角ACD,角BAE=角CAD
则三角形ABE和三角形ACD相似
所以 BE/CD=AB/AC,即BE*AC=AB*CD (1)
又有比例式AB/AC=AE/AD
而角BAC=角DAE
所以三角形ABC和三角形AED相似.
BC/ED=AC/AD即ED*AC=BC*AD (2)
(1)+(2),得
AC(BE+ED)=AB*CD+AD*BC
又因为BE+ED>=BD
所以命题得证

推论

任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。
托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆

推广

托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。
简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，得不等式，分析等号成立的条件。
四点不限于同一平面。
在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD*BC+AB*CD=AC*BD
从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
证明：
△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分别连DE、DF.
易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的补角） 且∠PDE=∠PCE
② 而∠ACP+∠PCE=180°
③ ∴∠FDP+∠PDE=180°
④ 即F、D、E共线. 反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、E共圆.

Answer 2

证明
在四边形ABCD中,连接AC,作角ABE=角ACD,角BAE=角CAD
则三角形ABE和三角形ACD相似
所以BE/CD=AB/AC,即BE*AC=AB*CD
(1)
又有比例式AB/AC=AE/AD
而角BAC=角DAE
所以三角形ABC和三角形AED相似.
BC/ED=AC/AD即ED*AC=BC*AD
(2)
(1)+(2),得
AC(BE+ED)=AB*CD+AD*BC
又因为BE+ED>=BD
所以命题得证
推论
任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。
托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆
推广
托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。
简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，得不等式，分析等号成立的条件。
四点不限于同一平面。
在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD*BC+AB*CD=AC*BD
从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
证明：
△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分别连DE、DF.
易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠ACP
①，（∵都是∠ABP的补角）
且∠PDE=∠PCE
②而∠ACP+∠PCE=180°
③∴∠FDP+∠PDE=180°
④即F、D、E共线.
反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、E共圆.

Answer 3

几何证明

设ABCD是圆内接四边形。
在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。
在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD；
因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。
因此△ABK与△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。
因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD；
因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA；
两式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA；
但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。证毕。

复数证明
用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。
首先注意到复数恒等式： (a �6�1 b)(c �6�1 d) + (a �6�1 d)(b �6�1 c) = (a �6�1 c)(b �6�1 d) ，两边取模，运用三角不等式得。
等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

四点不限于同一平面。
平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

Answer 4

这个页面上给出了几何证明、复数证明两种证明方法，并且很详尽。 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%89%98%E5%8B%92%E5%AF%86%E5%AE%9A%E7%90%86

Answer 5

托勒密于公元二世纪，提出了自己的宇宙结构学说，即"地心说"。主张地球处于宇
宙中心，且静止不动，日、月、行星和恒星均环绕地球运行。托勒密这个不反映宇宙实际结构的数学图景，却较为完满的解释了当时观测到的行星运动情况，并取得了航海上的实用价值，从而被人们广为信奉。托勒密本人声称他的体系并不具有物理的真实性，而只是一个计算天体位置的数学方案。至于教会利用和维护地心说，那是托勒密死后一千多年的事情了。
哥白尼（1473-1543），波兰天文学家、日心说创立者，近代天文学的奠基人。
哥白尼经过长期的天文观测和研究，创立了更为科学的宇宙结构体系——日心说，从此否定了在西方统治达一千多年的地心说。日心说经历了艰苦的斗争后，才为人们所接受，这是天文学上一次伟大的革命，不仅引起了人类宇宙观的重大革新，而且从根本上动摇了欧洲中世纪宗教神学的理论支柱。“从此自然科学便开始从神学中解放出来”，“科学的发展从此便大踏步前进”（ 哥白尼著有阐述日心说的《天体运行论》（1543年出版），由于受到时代的局限，在日心说中保留了所谓“完美的”圆形轨道等论点。其后开普勒建立行星运动三定律，牛顿发现万有引力定律，以及行星光行差、视差相继发现，日心说遂建立在更加稳固的科学基础上。